Muskens egy rövid cikkében – Richard Montague nyomán – a russelli technikát a lambda kalkulussal együtt alkalmazza a létezési állításokra. Kimutatja, hogy ez a megfogalmazás ekvivalens Russell megoldásával. Reinhard Muskens: Existence Predicate, From: R.E. Asher and J.M.Y. Simpson (eds.), The Encyclopedia of Language and Linguistics, Vol 3, p. 1191.
A cikk gondolatmenetét kissé átdolgozva ismertetem, remélhetőleg az olvasó kényelmére.
Russell elfogadta Kant álláspontját, hogy a létezés nem predikátum. Az a mondat, hogy „Franciaország jelenlegi királya létezik” látszólag a létezés tulajdonságát tulajdonítja a jelenlegi francia királynak. Ez a mondat látszólag un. szubjektum-predikátum logikai szerkezetű (’Fa’ szerkezetű) állítás, ahol a szubjektum a király, a predikátum pedig a létezés. Russell szerint ez a azonban tévedés, a mondat valódi szerkezete a következő:
(1) ∃x∀y(Ky ↔ x = y) ahol Ky:= y- egy jelenlegi francia király Figyelj a határozatlan névelőre!
Ennek az elemzésnek a jelentősége akkor válik világossá, amikor a tagadására gondolunk: A jelenlegi francia király nem létezik. Pl. Alexius Meinong felfogása szerint a nem létező dolgoknak, így a jelenlegi francia királynak is valamilyen értelemben mégis léteznie kell, különben nem lenne értelmes a mondat. Ez az, amit Russell elvet, és valóban, (1) negáltja nem hivatkozik valamiféle rejtélyesen létező seholsincs királyra, nincsen benne sem határozott leírás, sem név. Ezen az úton halad a modern logika is, ahol a „van” állítása a tárgyalási univerzum egy eleméről értelmetlenség, a ’∃a’ vagy ’’~∃a’ jelsorozatok nem formulák. (Korábban már megjegyeztem, hogy szintén hibás megoldás lenne a ’~∃x.x = a’ formula, ahol a:= a jelenlegi francia király.) De álljunk meg egy szóra, és hallgassuk meg Ruzsa Ferenc intését: „A logikának számos méltányolható motívuma lehet saját nyelvének ilyen leszűkítésére, ám ezek nem kényszerítő erejűek. Az emberiség nagyobb része lelkiismeret furdalás nélkül mondja továbbra is, hogy ’Mikulás nem létezik’ vagy ‘a Tihanyi Apátság alapítólevele megvan’.”[1] Montague szerint van olyan megoldás, amelyik közel áll a mindennapi nyelv szemléletéhez. Alkalmazzuk az Alonzo Church által kitalált lambda kalkulus nyelvét egy adott univerzumon. Ekkor λP∃x(∀y (Ky ↔ x = y) & Px) := a jelenlegi francia király, ahol 'P' tetszőleges tulajdonság. Ha a létezést pedig a ’λx.x=x’ predikátum fejezi ki, akkor az, hogy a jelenlegi francia király létezik, így fest:
(2) λP∃x(∀y (Ky ↔ x = y) & Px) (λx.x=x) Nemsokára jobban elmagyarázom.
Csakhogy, mint Muskens rámutat, (1) és (2) logikailag ekvivalensek egymással, így a formai szépségen túl mást nem nyertünk. Ez viszont nem biztos, hogy hiba – jegyzem meg én.
A lambda operátor egy függvények képzésére szolgáló formális nyelvi eszköz. Pl. legyen egy függvényünk értelmezési tartománya a személyek halmaza, és az ƒ függvény minden személyhez rendleje hozzá az édesanyját – feltéve, hogy mindenkinek van egy és csak egy édesanyja. Ez így írható föl ezen a nyelven:
ƒ = λx(x-anyja). Tehát a ’λx(x-anyja)’ kifejezés rendezett párok halmazát adja meg. Olvashatsz róla Ruzsa Imre újabb könyveiben, vagy a neten sok ismertetést találsz róla. Nekünk, filozófusoknak elegendő, ha az alapgondolatot ismerjük.
Egy olyan egyszerű mondatot, hogy „a kutya ugat” általában így formalizálnak az elsőrendű logika nyelvén: a:= a kutya[2], Fx: = x – ugat, Fa := a kutya ugat. Itt azonban nem tudjuk megkülönböztetni, hogy mit hangsúlyozunk: a kutyát, vagy az ugatást. (A hangsúly azt mutatja meg, hogy mi az az új információ amire a figyelmet irányítjuk.) Lambda operátorral ez lehetséges, mivel két megoldást kapunk: λx.Fx(a) és λα.αa (F). Az első a kutyát emeli ki, a második az ugatást. Namost cseréljük ki az ugatást a létezéssel: „a kutya létezik”, majd a kutyát a jelenlegi francia királlyal. A második megoldást alkalmazzuk, csak az „ugat” predikátum helyett a „létezik” predikátumot fogjuk használni az önmagával azonosnak lenni értelmében. A nevet kiküszöböljük. Hasonlóan kell eljárni a király estén is, logikai szempontból egy király és egy kutya nem különbözik:-)
∃x(∀y(Ky ↔ x = y) := van egy és csak egy jelenlegi francia király
λP∃x(∀y (Ky ↔ x = y) & Px) := van egy és csak egy P tulajdonságú jelenlegi francia király
λP∃x(∀y (Ky ↔ x = y) & Px) (λx.x=x) := van egy és csak egy létező jelenlegi francia király. P-t az önazonosság tulajdonságával helyettesítettük.
Írása végén Muskens a Kripke féle modális szemantika keretelméletében értelmezi a létezés predikátumot, úgy ahogy azt én korábban már bemutattam.
Mindenki maga döntse el, hogy mit gondol erről az értelmezésről.
Én a következőkre szeretném fölhívni a figyelmet. A korábbiakban több lehetséges közül a „létezik” fogalom olyan felfogását mutattam be, ahol az önazonosság határozta meg a „létezik” szó, mint elsőrendű logikai predikátum terjedelmét. Korántsem ez az egyetlen felfogás, számos más értelmezése is szerepel a filozófiai viták porondján. De az önazonosság sem teljesen veszélytelen fogalom. Valóban nem tesz hozzá semmit egy dologhoz, nem ad meg új, informatív tulajdonságot, és bajok, ellentmondások forrása is lehet. Az önazonosság fogalom terjedelme ugyanis csak adott halmazra vonatkoztatva ad meg halmazt, ha minden korlátozás nélkül alkalmazzuk, akkor az önazonosság terjedelme – legalábbis a ZF halmazelmélet felfogásában – nem halmaz. Azért hangsúlyoztam korábban az „adott tárgyalási univerzum” fogalmát. Viszont a filozófiatörténetben létezik egy olyan veszedelmes elsőrendű létezés-fogalom felfogás is, amelyik bármely elméletet (természetesen csak amelyik alkalmazza) romba dönt mivel produktív. Ez a veszedelmes létezés-definíció logikai-filozófiai bűvészkedéssel a legkülönösebb dolgokat életre tudja kelteni. Ez az ún. „ontológiai istenérv” problémakör, amivel valamelyik későbbi posztban foglalkozom.
[1] in. Hibás, de hol? Anzelm ontológiai istenérve. MFSZ 47 (2003/4)
[2] Az „a kutya” névvel történő helyettesítése nem teljesen problémamentes, de a határozott névelő rámutatásként való értelmezése intuitíve is elfogadható. Lásd erről: Zvolenszky Zsófia: Russell megingathatatlan elmélete a leírásokról. http://kellek.adatbank.transindex.ro/pdf/27-28/026zvolen.pdf