Egészen röviden a Yablo paradoxonról
2022. december 10. írta: quodlibet

Egészen röviden a Yablo paradoxonról

86. filozófiai válaszok

Három dolgot fontos megértenünk a Yablo paradoxonról:

1. A paradoxon megfogalmazható az igazság predikátum használata nélkül is. Az eredeti sorozat így festett:

(S1) minden k>1 –ra, Sk nem igaz

(S2) minden k>2 –ra, Sk nem igaz

(S3) minden k>3 –ra, Sk nem igaz

.

.

A sorozat folytatására utaló pontok is így fordultak elő az eredeti cikkben. Figyeljük föl arra a pongyolaságra, hogy a formulák nevei, melyek a bal oldali zárójelbe tett jelek, maguk is részei a formuláknak. Ezek után fogalmazzuk meg másképp a gondolatmenetet. Legyenek n, k természetes számok (n = 0, 1, 2 …), ekkor megszerkeszthetjük a Yablo mondatsorozatot az alábbi módon:

(Y0)                     S(0) « "k. 0 < k® ~S(k)                          

(Y1)                     S(1) « "k. 1 < k® ~S(k)

(Y2)                     S(2) « "k. 2 < k® ~S(k)

(Yn)                     S(n) « "k. n < k® ~S(k)

(Yn + 1)               S(n + 1) « "k. n + 1 < k ® ~S(k)

 

Most a formulák nevei nem részei a formuláknak, és a formulák elsőrendűek, és nem használják az ‘igaz’ szemantikai predikátumot. Belátható, hogy a Yablo paradoxon S(n) sorozata következménye egy másodrendű logikai formulának:

(Ya) $s"n: n természetes szám ® ( s(n) « "k (n < k ® ~s(k)))

2. A paradoxon csak látszólag kapcsolatos a logikával, annak alapjaival. Valójában logikai fogalmak nélkül is megfogalmazható, pl. kalapokkal vagy számokkal. Vegyük az utóbbit. Legyenek érvényesek a szokásos aritmetikai igazságok (AR); és f kétértékű függvény értéke akkor és csak akkor 1 valamilyen n számra, ha minden n-nél nagyobb számra f értéke 0. Ezek után ezt kapjuk:

(Y0)       1 = f(0) « "k. 0 < k® 0 = f(k)

(Y1)       1 = f(1) « "k. 1 < k® 0 = f(k)

(Y2)       1 = f(2) « "k. 2 < k® 0 = f(k)

(Yn)       1 = f(n) « "k. n < k® 0 = f(k)

(Yn+1) 1 = f(n + 1) « "k. n + 1 < k ® 0 = f(k)

Az antinómia ekkor így vezethető le:

*(1)       1 = f(n)                              feltételezzük, hogy f értéke n-re 1

*(2)       "k. n < k® 0 = f(k)         (Yn)

*(3)       n < n + 1® 0 = f(n + 1)   (2)

*(4)       n < n+1                            (AR)

*(5)       0 = f(n + 1)                       (3) (4)

*(6)       ("k. n < k® 0 = f(k) ) ® ( "k. n + 1 < k ® 0 = f(k) )         (AR)     

*(7)       "k. n + 1 < k ® 0 = f(k)    (2) (6)

*(8)       1 = f(n + 1)                       (7) (Yn + 1)

(9)         1 = f(n) ®. 0 = f(n + 1) & 1 = f(n + 1)       (1) (5) (8)

(10)       0 = f(n)                              (9)

(11)       "n. 0 = f(n)                      (10) n tetszőleges volt, ezért univerzális általánosítással

(12)       "k. n < k® 0 = f(k)         (11) (AR)

(13)       1 = f(n)                              (Yn)

(14)       0 = f(n) & 1 = f(n)            (10) (13)

 Az ellentmondás eltűnik, ha a sorozat tárgyalási univerzumát kiegészítjük egy transzfinit számmal, pl.  w-val, amely transzfinit szám nagyobb minden természetes számnál.

Tegyük fel, hogy 1 = f2(w) és 1 = f2(n) « "k. n < k® 0 = f2(k)

f2.jpg

3. Mit jelent jelen esetben a paradoxon? Azt jelenti, hogy feltételeztük valaminek a létezését, de ez a feltevés ellentmondásra vezet. Mi következik ebből? Az következik, hogy el kell vessük a feltételezésünket, a sorozat, melynek létezését feltételeztük, valójában nem létezik. Fontos ezt jól érteni. Nem a jelek sorozata létezését tagadjuk, hiszen a papír bármit elvisel, hanem a logikai formulák egy adott sorozatának a létezését, amely sorozat minden tagja konzekvensen igazra vagy hamisra értékelhető. Az un. paradoxon abból fakad, hogy egy különös rekurzív sorozatnak nem adtuk meg a bázisát. Amint megadjuk, az ellentmondás, a paradoxon elillan, még akkor is, ha végtelen sok tagja van. Mivel hiányzik egy rekurzív sorozat bázisa, a sorozat meghatározása körbeforgó, azaz hibás. (Stephen Yablo nem tartja a körbeforgó definíciókat feltétlen hibásnak, sajátos, érdekes elmélete van ezzel kapcsolatban, de erre itt most nem térhetek ki.)

A sorozat véges szelete fölírható numerikus formában, úgy, hogy táblázatkezelővel is kiszámolhatjuk. Ekkor az univerzális kvantor helyett soktagú összeget használhatunk.

Lásd: https://ferenc.andrasek.hu/modellek/ybrx-rov.xlsx

A bejegyzés trackback címe:

https://filozofiaiszeljegyzetek.blog.hu/api/trackback/id/tr5117999310

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

Világnézet Netes Napló · vilagnezet.blog.hu 2022.12.11. 09:35:40

Gödel első nemteljességi tétele hibás. Attól még a matek lehet teljes.

... Felvetésem a matematikai formalizálás hibalehetőségeit és korlátjait érinti: Kurt Gödel (1906-1978) matematikus első nemteljességi tétele érvényes-e, vagy csak főként egy hamis dilemmára alapuló érvelési hiba? Tényleg csak két választási lehetőség van? Vagy van még több is? Nem kellene inkább ezt átsorolni a paradoxon példákhoz? Mint David Hilbert (1862-1943) egyik leghíresebb matematikus Grand hotel felvetése is oda van sorolva. Egyáltalán matematika ez, vagy csak igen butuska és ráadásul hibás filozofálgatás? Gödel különféle tételei egymást is cáfolják? ...

vilagnezet.blog.hu/2021/11/28/godel_elso_nem_teljessegi_tetele_oncafolas_es_hamis_dilemma
süti beállítások módosítása