Bevezetés

A következő megjegyzések Pavlovits Tamás „A végtelen észlelése a kora újkorban” c. könyvéhez, illetve a vele a könyv kapcsán, a neten elérhető beszélgetésekhez kapcsolódnak.[i] Az alábbi szöveg nem könyvismertető, hanem merengés a könyv központi gondolatai kapcsán.[ii]

A könyv feltételezi, hogy olvasója valamelyest járatos a szerző által preferált filozófiai irányzatok gondolkozásmódjában, nyelvhasználatában, pl. a fenomenológia szemléletében. A könyv több szövegét többszöri újraolvasás ellenére sem tudtam megérteni, más részeit képes voltam értelmezni, de nem vagyok biztos benne, hogy jól értettem a szerzőt. Ezért némi aggodalommal vetem papírra az alábbiakat.

Rövid áttekintés

A bevezetés után a könyv második fejezete tudomány és filozófia történeti fejtegetéseket tartalmaz. A fejezet első részében külön kitér a végtelen fogalma történetén belül, a kozmológiai, teológiai és matematikai vonatkozásokra. A történeti ív Arisztotelésztől, Aquinói Szent Tamáson, Canterbury Anzelmen, Giordano Brunón át, egészen Cantorig terjed. (Roger Bacon és William of Occam végtelennel kapcsolatos gondolataival nem foglalkozik.) A szerző megkülönbözteti a végtelennel kapcsolatos fogalomalkotást és a végtelen racionalizálását. Ez a megkülönböztetés nekem új és érdekes volt, így valóban jobban írható le a történeti folyamat. A második rész tárgyalja a végtelen paradoxonjait - Zénón, Galilei, Bertrand Russell a  végtelennel kapcsolatos zavarba ejtő kérdéseit tárgyalja - míg a harmadik rész témája a végtelen észlelése és a végtelen fenomenológiája. A második fejezet nagyon sok érdekes tudománytörténeti fejtegetést tartalmaz, amely a téma szakértőin kívül mindenkinek újat mondhat. Elgondolkoztató pl. a következő meglátás: „A kora újkor kidolgozza tehát a végtelen egzakt számításának a módszerét, anélkül azonban, hogy képes lenne a végtelen matematikai fogalmát definiálni. Ez a hiány nyilvánvalóvá teszi, hogy egy jelenség (jelen esetben a kontinuum) matematizálása és pozitív fogalmi megragadása nem jár szükségszerűen együtt.”[iii] 

A további három fejezet részletesen ismerteti Descartes, Pascal és Leibniz végtelennel kapcsolatos nézeteit és a filozófusoknak kortársaikkal folytatott vitáit. Mindhárom szerzőnél előfordult, hogy nem tudtam eldönteni, a saját véleményét ismerteti vagy a három filozófus valamelyikét. Ismerteti a koncepciójától eltérő egykori szerzők álláspontját is, pl. Lockét, de azokat cáfolja.

Megjegyzések 

Pavlovits Tamás könyve nem a végtelen fogalmáról szól, hanem a végtelen észlelése fogalmáról – mondja nekünk a szerző egy beszélgetésben.[iv] Ezt írja a bevezetőben: „…nem lesz célom az univerzum végtelenségével kapcsolatos kozmológiai elméletek, sem az anyag végtelen oszthatóságának önmagában vett elemzése, miként a matematikai végtelen vagy a teológiai végtelen problémájának értelmezése sem. A végtelen csak annyiban érdekel, amennyiben egy tárgynak tulajdonított végtelenség összefügg a végtelen észlelésének problémájával. Mivel tehát a végtelen észlelésére koncentrálok, elsősorban annak a meghatározása lesz a célom, mi teszi lehetővé, mi jellemzi ezt a mentális aktust.”[v] Részben értem. Egyetértek azzal, hogy az univerzum végtelensége vagy az anyag végtelen oszthatóságának kérdése ma már nem filozófiai kérdés, hanem szaktudományos kérdés, és az is világos, hogy a szerző pszichológiai kérdésekkel kíván foglalkozni. De a matematikai végtelen fogalma zárójelbe tételét nem értem, hiszen a későbbiekben foglalkozik a kérdéssel. Evidenciának tekinti a végtelen észlelését, holott nem az, még akkor, sem ha sok más filozófus is evidenciának tekinti. Elmondom mi a gondom a ’végtelen észlelése’ fogalom ilyen megközelítésével.

Beszélhetnénk az alma észlelése fogalmáról is. A probléma ezért lenne érdekes, mert szeretnénk egy automatát megtanítani arra, hogy ismerje föl az almát és szedje le a fáról. Ezért lenne érdekes ’az alma észlelése’ fogalma. De nyilvánvaló, hogy ehhez tudnunk kell mi az alma, mi az alma fogalma, máskülönben nem tudjuk minek az észleléséről beszélünk. Amikor az alma észleléséről beszélünk, akkor hallgatólagosan feltételezzük, hogy az alma, ami az észlelés tárgya, olyan valami, ami létezik és észlelhető. Egy elképzelt alma, aminek még tart a nemesítése, nem lehet észlelésünk tárgya, mert az elképzelt alma puszta fogalom és nem fizikai létező. Ha értelmes az alma észleléséről beszélni, akkor az alma az észlelhető dolgok kategóriájába tartozik. A végtelen ebből a szempontból olyan, mint az alma. A „végtelen észlelése” mint fogalom támaszkodik a végtelen fogalmára, a nélkül érthetetlen, értelmezhetetlen, és P.T. támaszkodik is a végtelen fogalma és a hozzá kapcsolódó problémakör egyfajta értelmezésére. A végtelen fogalmának a története nem is mondható el anélkül, hogy értékeljük a problémával foglalkozó szerzők nézeteit, letegyük a garast a vitatott kérdésekben pro vagy kontra. A filozófus dolga éppen az, hogy napvilágra hozza a végtelennel kapcsolatos, olykor ki nem mondott előfeltevéseket. Filozófiai álláspontunktól függően aztán ezeket az előfeltevéseket minősíthetjük előítéletnek vagy éppen zseniális sejtéseknek is. Ezért én a továbbiakban a végtelen fogalmának P.T. által bemutatott értelmezésével foglalkozom. Ehhez a könyvön kívül a neten található vele folytatott beszélgetésekre is támaszkodom. Maradjunk is az említett beszélgetésnél.

P.T. szerint a „végtelen” fogalma filozófiai fogalom is, annak eredete folytán. Ezt könyvében is hangsúlyozza, a végtelent központi filozófiai fogalomnak tekinti. Nem értek egyet, szerintem a végtelen jó ideje matematikai fogalom, azzá vált. Én azzal a felfogással értek egyet, hogy a végesnek és a végtelennek csak összességek, halmazok mennyiségi mértéke értelmében van értelme, a metafizikai vagy teológiai értelemben vett végtelen, pl. Isten végetlen bölcsessége, mind-mind visszavezethető egy vagy több lépésben a végetlen mennyiségi fogalmára. Szerintem más értelemben álfogalom, üres spekuláció, amelyik kelthet kellemes érzéseket, de racionális tartalma üres. Ami ennél is fontosabb: a végtelen fogalma nem hozható a napvilágra pszichológiai megközelítéssel, mert a végtelen (elvont, nem szemléletes) absztrakt fogalom, lakóhelye a matematika formális nyelve. Létét szabatos matematikai definícióknak köszönheti, és nem érzelem gazdag irodalmi szövegeknek.

Platón korában nem létezett az a szaktudományos specializáció mint manapság, minden tudás filozófia volt, és ezért a szaktudományos fogalmak, szaktudományos kérdések gyökerei az ókori filozófusok gondolatvilágából eredeztethetők. Így abból, hogy a végtelen fogalmát a korai görög filozófia hozta létre, önmagában nem következik, hogy a végtelen fogalma ma is filozófiai fogalom. Tény hogy kortárs filozófusok is értelmezik, elemzik a „végtelen” fogalmát. Viszont filozófiai alapállás kérdése, hogy mit gondoljunk erről. Szerintem a jó filozófia szerény ebben a kérdésben (is) és feladata pusztán segíteni a szélesebb intellektuális olvasó közönségnek megérteni a „végtelen” (pontosabban a végtelenek) matematikai/halmazelméleti fogalmát.

A szerző könyvében a végtelen alábbi, Lévinastól származó fenomenológiai meghatározását tartja iránymutatónak:

„ [a végtelen] a gondolkodás számára adódó olyan tartalmak tulajdonságát jelenti, amelyek minden határon túlnyúlnak … a végtelen akkor jelenik meg, amikor nem látjuk egy a gondolkozásban adott tartalom határát.”[vi]

Nekem ennél a pszichologizáló megfogalmazásnál sokkal vonzóbb a következő, Cantortól eredeztethető halmazelméleti megfogalmazás:

Egy halmaz számossága végtelen akkor és csak akkor, ha a halmaznak van olyan valódi részhalmaza, amellyel ekvivalens (azaz a halmaz a valódi részével egy-az-egyhez relációba/leképezésbe hozható). (A könyvben szerepel ez a meghatározás is.)  

Figyeljük meg, hogy mely fogalmak szerepelnek a definiensben, és melyek nem. P.T. ugyanis ezt írja:

„A végtelen pozitív fogalma kidolgozásának sine qua non feltétele volt, hogy a végtelent aktuális végtelenként értsük. Ez a pozitív fogalom lehetővé teszi, hogy a végtelent a véges fogalmától függetlenül ragadjuk meg, ami azt jelenti, hogy a végtelen autonómiával bír a végeshez képest. A végtelen nem a lehatároltság vagy a végesség tagadása révén konstruálódik, hanem egy pozitív meghatározásra tesz szert. Ily módon a matematikai végtelent éppúgy, mint a teológiai végtelent, prioritás jellemzi a véges fogalmához képest. Ez pedig nem jelent mást, mint hogy nem a véges fogalmát használjuk a végtelen meghatározásához, hanem fordítva: a végtelenből kiindulva határozzuk meg a véges fogalmát. Nem az végtelen, ami nem véges, hanem az véges, ami nem végtelen.”[vii]

Vajon elfogadhatjuk a fenti tézist? Többfajta halmazelméletet is megalkottak, de a legelterjedtebb axiomatikus ZF halmazelméletnek van egyfajta kumulatív fölépítése, ami szerintem bizonyos feszültségben van ezzel a tézissel, és én nem tudom, hogyan lehetne ezt a feszültséget föloldani. 

A végtelen már a középiskolai tanulmányok során, a végtelen sorozat fogalmaként megjelenik. Vajon azonos-e a 0,999…. végtelen sorozat 1-el? Ha igen, miképpen lehet ezt bizonyítani? [viii] A válasz filozófiai szempontból is érdekes, és Platónt nagyon meglepné, ha egyáltalán képes lenne fölfogni a tizedes törteket. Mert a válasz azt jelenti kicsit „filozofikusan” fogalmazva, hogy egy végtelennek lehet vége, és az meglepő módon azonos egy véges valamivel. Vajon mit gondolt/gondolna erről Hegel?

A másik gondolat, amit nem tudok megjegyzés nélkül hagyni, ha jól értem, P.T. azt gondolja, hogy  - ellentetében pl. a középkori felfogással - a világ (értsd az univerzum) végtelen. Ezt írja a bevezetőben: „A végtelen észlelése több módon is megvalósulhat: a végtelen ideáján keresztül, amely az emberi elmében található, vagy a végtelen természet által, amely körülveszi az embert, vagy esetleg Isten közvetlen észlelésének köszönhetően válik lehetségessé.”[ix] Később pl. „… a végtelen természet végtelen tárgyként adódik a látás számára.”[x]

Bár van ilyen álláspont manapság is, amennyire én tudom, nem ez a többségi álláspont: a többségi álláspont az un. Ősrobbanás elméletből indul ki, amelyik az univerzum időbeli és térbeli végességét állítja, többnyire ennek a folyamatos tágulásával. (Itt is több teória verseng egymással, és a folyamatos tágulás feltételezése kétségtelenül egyfajta potenciális végtelent jelent - ha így érti, akkor egyetértünk.) És bármilyen meglepő, a világ végén száguldó fotonok vagy elemi részek táblát is vihetnek magukkal: hahó, itt a világ vége, eddig tart a (fizikai) tér-idő.[xi] Természetesen jogában áll vitatni ezt az elméletet, ha vannak megalapozott érvei. Az Ősrobbanás elmélet (The Big Bang) azonban nem filozófia, a puszta spekuláció nem elegendő a cáfolatához.[xii]

A harmadik gondolat kettős: egyrészt - ha jól értem - Pavlovits Tamás hisz egyfajta innátizmusban, (velünk született eszmékben) amivel nincsen semmi probléma, hiszen jelentős nyelvészek is hisznek benne. A problémát én ott látom, hogy a szerző abban is hisz, hogy a végtelen fogalma annyira alapvető, hogy minden ember veleszületett fogalma. A gondolat másik fele pedig az, hogy a végtelen fogalma megértése megelőzi a véges fogalma megértését.[xiii] Szerintem mindkét esetben téved a szerző. Vannak olyan elzárt világban élő természeti népek, amelyek nem ismerik a mi szám fogalmunkat, ennyit tudnak: egy, kettő, sok. Ha ezek az emberek emberek, akkor ők nem hogy a végtelent, de még a nagy számokat sem ismerik, és így cáfolják P.T. tézisét.  Ami pedig a végtelen fogalma primátusát illeti, nekem mint három gyerekes apának más a tapasztalatom, emlékeim szerint a véges szám fogalom sok évvel megelőzte a végtelen fogalmának megértését. További problémákat is látok. Mi a helyzet az intuicionista-konstruktivista matematikát művelő matematikusokkal? Az ő elméjükben is ott van az aktuális végtelen fogalma? Akkor miért nem fogadják el a létezését? És mi a helyzet velem, aki bár hiszek az aktuális végtelenben, annak fogalmát soha nem érzékeltem. Képes vagyok fölidézni egy szeretett nagynéném alakját, arcát és hangját, de az egy, kettő, nulla, mínusz egy vagy a végtelen fogalmait képtelen vagyok érzékelni. Ez miképpen lehetséges, ha a végtelen érzékelése minden ember veleszületett képessége? Talán igazam van, talán a szerzőnek van igaza, a fő gondom az, hogy megint olyan kérdésekről próbál állást foglalni a filozófia, ami már régen nem filozófiai, hanem kísérleti pszichológiai, gyermeklélektani, kognitív tudományi (megismeréstudományi) illetve kulturális antropológiai kérdés. A spekulatív pszichologizáló fogalmi elemzés ebben az esetben számomra épp úgy nem meggyőző, mint az univerzum végtelensége kérdése esetén.

Pavlovits Tamás a végtelen primátusát nem csak pszichológiai értelemben állítja, hanem Descartest követve észérveket is felsorakoztat véleménye alátámasztására. Ha jól értem ennek lényege a következő:

(1)  Számolni kezdünk, 1,2,3 és így tovább.

(2) A számolás lényegéhez tartozik, hogy vég nélkül tudjuk folytatni. Ha nem tudjuk vég nélkül folytatni a számolást, akkor nincsen szám fogalmunk, nem állnak rendelkezésünkre a számok, nem állnak rendelkezésünkre a véges számok, azaz nem áll rendelkezésünkre a véges.

(3) Hogy vég nélkül tudjunk számolni, előzőleg szükségünk van a végtelenre, amely lehetővé teszi, hogy vég nélkül számoljunk, hogy mindig tovább haladjunk.

(4) A végtelen tehát megelőzi a végest, alapvetőbb a végesnél.

Q.E.D.

Engem nem győzött meg ez az érvelés. Több okból.

(a) Pavlovits Tamásnak nyilván van számítógépe, és elfogadja, hogy a számítógép tud számolni. Csakhogy a számítógép nem tud elszámolni a végtelenig. Ergo nem igaz, hogy a számolás lényegéhez tartozik, hogy végtelen sok szám legyen. Innen az érvelése összeomlik.

(b) Fogadjuk el, hogy a számítógép nem tud számolni, mert a számolás lényege, hogy mindig tovább tudunk számolni, ne legyen a számok sorozatának vége. Ha ez így van, akkor az érv azt igazolja, hogy a potenciális végtelen nem létezhet az aktuális végtelen nélkül, tehát az aktuális végtelen ilyen értelemben valóban alapvetőbb, mint a potenciális végtelen. Pavlovits szerint a potenciális végtelen a véges egy formája - nem tudom, hogy ebben igaza van-e, de elfogadom. Ebben az esetben spekulatív-fogalmi összefüggés értelmében értem a felfogását, hogy a végtelen alapvetőbb a végesnél. Szerintem azonban ha ezt a spekulatív-fogalmi összefüggést pontos, matematikai formába öntjük, akkor a végtelen matematikai meghatározása körben forgóvá válik, és így ez az álláspont nem tartható.

(c)  A fő gondom azonban az, hogy Pavlovits tétele nem a matematika formális nyelvén, hanem természetes nyelven van megfogalmazva és bizonyítva, és így számomra nem meggyőző.

Térjünk vissza az észlelés kérdéséhez. Vajon észleljük-e a végest? A kérdés tisztázásra szorul. Némelykor észleljük a véges távolságot, amikor egy távoli hegyet vagy távoli tornyot nézzük, és azon gondolkozunk, hogy az milyen messze van. Más a helyzet, amikor a csillagos égre nézünk. Tanulmányaink alapján értelmezzük a látványt, csak tanulmányainkból van fogalmunk arról, hogy amit látunk az micsoda, és milyen messze van. Azt is tanulmányainkból tudjuk, hogy vannak olyan távoli részei a világegyetemnek, ahonnan el sem ér hozzánk a fény, tehát vannak olyam távoli, de véges térrészek, melyeket lehetetlen észlelnünk. Mindebből az a fontos, hogy a végességet ebben az értelemben a véges térhez, véges távolsághoz kapcsoljuk. Maga a „végesség” mint fogalom, nem fizikai jelenség, nem fizikai tárgy, ergo az érzékeléséről beszélni tévedés, kategória hiba. Vegyünk egy másik példát.

Némelykor észleljük a véges mennyiséget. Látunk öt almát az asztalon. Az asztalon lévő öt alma érzékelhető, mert nem nagyon sok van belőle az asztalon. Végtelen sok nem is lehetne, mert nem férne el, és mert végtelen sok alma fizikai képtelenség. Máskor az öt ujjunkat látjuk, és az öt ujjunk látványa érzékelhető.  Valóban, a pozitív véges egész számok, a természetes számok fogalmához így jutunk el, így tanítjuk a gyermeket: kis méretű fizikai tárgyakon végezett számolással. Való igaz, hogy a természetes számok kezdőszelete megtanulása ezer szállal kötődik az érzékeléshez, mégis fontos megérteni, hogy maga az ötös szám, és hasonlóképpen az összes véges természetes szám érzékelhetetlen, nem anyagi-fizikai létező, de nem is fizikai esemény. A véges számok, a legkisebbek sem érzékelhetőek, mert absztrakt létezők.

A probléma még érdekesebb, ha a természetes számok közé bevonjuk a nullát. A nulla számhoz talán úgy kapcsolhatunk fizikai valóságot, hogy azt mondjuk, ezen a tálon nincsenek almák, nincsen egyetlen alma sem, azaz a tálon lévő almák száma nulla. Ennek a megértése azonban sokaknak nehézséget okozott és okoz ma is, mint arra egy internetes fórumon rádöbbentem. Az öthöz vagy az egyhez könnyen kapcsolunk belső, vizuális képeket, nem így nulla szám esetén. A számjel maga érzékelhető, de amit jelent, ahhoz nehezen kapcsolható képzet, belső kép. Nem véletlen, hogy pl. az ókori görög matematika nem ismerte a nullát, külön története van a nulla föltalálásának.

Lépjünk túl a természetes számokon, és emelkedjünk fel az egész számok tartományába, sőt még azon is túl, a komplex számok bizodalmába. Vajon ezeket a számokat, dacára annak, hogy véges számok, képesek vagyunk érzékelni? Olyan módon igen, hogy síkbeli Descartes koordináta rendszeren ábrázoljuk azokat, és az így értelmezett tér pontjai felelnek meg pl. a komplex számoknak. Ezek azonban gondolati mankók, miképpen az ujjak vagy babszemek a számoláskor.  Miért hasznosak ezek a mankók? Azért mert szemléletessé, és ez által könnyebben érthetővé tesznek egy elvont fogalmat, és itt jön a képbe a végtelen problémája, amit nagyon jól lát Pavlovits Tamás. A Descartes koordináta rendszer végtelen hosszúságú tengelyeit nem tudjuk ábrázolni, csak a végükre illesztett nyilakkal utalunk arra, hogy tovább tart a koordináta tengely, a számegyenes elfut a végtelenbe. Hasonlóképpen, csak részleteiben tudjuk megrajzolni a hiperbola függvényt, utalván arra, hogy az origóban nincs értelmezve a függvény értéke, mert más a határértéke jobbról és más balról. A végtelennel kétségtelenül az a probléma, hogy nem, vagy csak erőltetetten eszelhető ki ábrázolására valamilyen (véges) ábra – pl. próbálkozhatunk spirállal, vagy valamilyen szép Mandelbrot-halmaz ábrázolással. Jó gondolat a projektív geometria is, amit szépen bemutat a szerző a könyvében. Szerintem viszont a gondolati mankó nem tévesztendő össze a fogalmi tartalommal: sem a véges, sem a végtelen mennyiség fogalma nem érzékelhető, nem látható, mert nem fizikai létező. Az alábbi passzusban Platónnak még akkor is igaza van, ha esetleg magát a platonizmust részben vagy egészében elutasítjuk. 

„Szókratész: S mit gondolsz, Glaukón, ha valaki azt kérdezné tőlük: »Miféle számokról beszéltek ti, szerelmes barátaim, ahol az egy olyan, amilyennek ti állítjátok: egyik a másikkal teljesen egyenlő, köztük a legkisebb különbség sincs, s egyik sem osztható részekre?«, vajon mit válaszolnátok erre?
Glaukón: Bizonyára azt, hogy ők arról beszélnek, amiről csak gondolkodni lehet, és amihez semmiféle más módon nem lehet hozzányúlni.
Szókratész: Látod tehát, kedves barátom, valóban nagy szükségünk van erre a tudományra, ha egyszer a lelket arra szorítja, hogy magával a gondolkozással közeledjék a tiszta igazsághoz.”[xiv]

Tegyük egyelőre zárójelbe a végtelen észlelése kategória hiba problémáját, fogadjuk el, hogy lehet észlelni a végtelent, bármit is jelentsen az. Foglalkozzunk a ’végtelen észlelése’ kifejezés második tagjával, az észleléssel. (Így, idézőjel nélkül.) Nyilván jókora különbség van az egyén elméje számára külső világ és az egyén elméje belső állapota érzékelése között. Descartes hajlamos volt azt gondolni, némelyik esetben ez a belső érzékelés tévedhetetlen. Higgyünk neki. De vajon tévedhetetlen-e az introspekció a fogalmak, nevezetesen a ’végtelen’ fogalma esetén is? Vegyük ismét az almát, ami a külső világ része. Nyilván nem tévedhetetlen az érzékelésem az alma esetén, netán bizonyos színeket vagy formákat rosszul látok. Még az is előfordulhat, hogy almákat vélek látni a tálon, miközben azok valójában narancsok. Épp így a végtelen észlelése esetén is tévedhetek.

A másik két probléma, amit több filozófus - szerintem tévesen - fölvetett, hogy:

• talán sohasem az almát látom, hanem az én privát alma képzeteimet;
• az almát mindig csak adott perspektívából látom, a maga teljességében sohasem, azaz az alma, amint magában van, számomra elérhetetlen.

Akár jogosak ezek az aggodalmak az alma esetén, akár nem, mindenképpen fölvethetőek egy fogalom érzékelése esetén is - feltéve, hogy van ilyen. Mi van ha becsap az elmém, és azt hiszem érzékelem a végtelent, de valójában mást érzékelek és nem a végtelent?

Pavlovits Tamás könyvében rendkívül alaposan járja körül a végtelennel kapcsolatos valamennyi kérdést, így Isten végtelensége kérdését is. Ha egyáltalán értelmesen összefüggésbe hozható a végtelen fogalma Istennel, az csak az aktuális végtelen valamilyen fogalma lehet, mivel a potenciális végtelen befejezetlensége bizonyos feszültséget jelent bármiféle adekvát isten fogalommal, amelyik nem tartalmazhat töredékességet, befejezhetetlenséget. Szerintem ez az érv meggyőző.

Zárszó

Pavlovits Tamással ellentétben én úgy gondolom, hogy a végtelen azok közé az absztrakt fogalmak közé tartozik, melyek megértését egyenesen gátolja, ha mindenáron szemléletes jelentést próbálunk kapcsolni hozzá. A helyes út a formális-matematikai gondolkozás, amikor ha sokat foglalkozunk egy tárgykörrel, egy idő után „érezni” kezdjük az elvont fogalmak jelentését, de nem olyan módon, hogy belső látással érzékeljük, hanem olyan módon, hogy intuíciónk alakul ki az absztrakt fogalom gyakorlati használatát illetően. Ezért nem elegendő sem a matematikában sem a fizikában a definíciók megtanulása, a valódi megértés próbaköve a példamegoldás képessége. Mindazonáltal számomra érdemes volt követni a szerzőt a végtelennel kapcsolatos kacskaringós szellemi felfedező úton. A könyv segített abban, hogy végig gondoljam, én mit gondolok ezekről a kérdésekről, ezekről az összefüggésekről.

A poszt szövege innen letölthető: http://ferenc.andrasek.hu/blog/pdf/vgtleszlelese.pdf

 A korábbi 34. posztom foglalkozott a végtelen fogalmával egy konferencia kapcsán, ahol az előadók tagadták az aktuális végtelen létezését. Egyéb érdekes hivatkozások a poszt témájával kapcsolatban:

Lamár Erzsébet könyvismertetője az ÉS-ben: https://www.es.hu/cikk/2021-06-25/lamar-erzsebet/hatarainkon-innen-es-tul.html

A Magyar Tudomány tematikus összeállítása a ’végtelen fogalmai’-ról, szerk. Bernáth László és Tőzsér János: https://mersz.hu/dokumentum/matud202011__1

[i] Pavlovits Tamás, A végtelen észlelése a kora újkorban (2020) Bp., Gondolat, ISBN:978 963 556 067 7

[ii] Érdemes elolvasni még:

https://u-szeged.hu/sztehirek/2021-augusztus/minden-fogalmunkon?objectParentFolderId=19355&fbclid=IwAR3os133ZJOKeLC2hLECVii1SduHjjt2pJEgg86PYQYYk7CIfYN-i_9Wc_A

[iii] i.m.65.o.

[iv] https://www.youtube.com/watch?v=Ng7B-18jNvw

[v] i.m.16.o.

[vi] i.m.17.o.

[vii] i.m.70.o.

[viii] Mathologer: https://youtu.be/SDtFBSjNmm0

[ix] i.m.15.o.

[x] i.m.71.o.

[xi] Fermilab: Don Lincoln https://youtu.be/vIJTwYOZrGU

[xii] A térben és időben végtelen világ fogalma épp olyan zavarba ejtő kérdéseket vet föl, mint a végesé. És ehhez még a modern fizika ismeretére sincsen szükség. „Miért van sötét éjszaka? – hiszen ha a világ végtelen, akkor bármilyen irányba elindulva végtelen sok világító testet találunk. Hogyan lehetséges egyáltalán, hogy létezünk az entrópia törvény ismeretében? – hiszen volt elég idő, hogy minden különbség kiegyenlítődjön, beálljon a hőhalál állapota. Hogyan lehetségesek különálló égitestek, miközben minden test vonzza a másikat? – lett volna elég idő arra, hogy egymásba zuhanjanak.” (egy korábbi blog bejegyzésem szövege)

[xiii] „A mű központi tézise a végtelennek a végeshez viszonyított elsőbbségére vonatkozik: az embernek eredendő észlelése van a végtelenről, a véges megismerése pedig utólagos a végtelen megismeréséhez képest. Pontosabban, a véges nemcsak alacsonyabb rendű a végtelennél, hanem utólagos is hozzá képest, a szó logikai-metafizikai értelmében.” Vető Miklós opponensi véleménye:

http://real-d.mtak.hu/1125/8/Vet%C5%91%20Mikl%C3%B3s.pdf

[xiv] Platón: Az állam. ford. Szabó Miklós, in Platón összes művei (1984) Bp., Európa, 523a – 525b