A negyedik posztomban, ahol a nemlétezés problémájának formális-logikai nyelven megfogalmazható megközelítéseit tekintettem át, a másodrendű logikát használó javaslatok kapcsán megemlítettem Otávio Bueno egy írását: Second-order Logic Revisited Ennek az írásnak a továbbfejlesztet változata 2010-ben megjelent „A Defense of Second-order Logic” címmel. Bár csak négy oldallal hosszabb a korábbi változatnál, mégis sokkal letisztultabb, világosabb, bár az olvasótól több matematikai-logikai tájékozottságot feltételez.  Nem könnyű olvasmány, de fontos, mert számos ponton kapcsolódik az általunk vizsgált metafizikai-ontológiai kérdésekhez és részletesen taglalja a másodrendű logika lehetséges értelmezéseit is. Sajnos az ismertetése meghaladja ennek a blognak a kereteit, most csak egyetlen kérdéskörre térek ki röviden.

Mi is az a másodrendű logika? Tekintsd a következő mondatot:

(1) Te rendelkezel olyan jó tulajdonsággal amivel én nem.

Ennek a mondatnak a lényegét így formalizálhatjuk a klasszikus másodrendű logika nyelvén:

(2) ∃α [jó-tulajdonság(α) & ~α(én) & α(te)]

Vajon mit jelent az ’α’ változó használata, mik az értékei? Az α változó értékei predikátumok nem pedig egyedi dolgok, és a ’jó-tulajdonság’ predikátum pedig másodrendű predikátum, mivel a terjedelmébe olyan elsőrendű predikátumok martoznak, melyek terjedelmét személyek (egyedi dolgok) alkotják. A (2) mondat a szó logikai értelmében elkötelez bennünket a tulajdonságok létezésében való hitben. Ez természetesen nem jelenti azt, hogy a tulajdonságok a személyekhez hasonlóan a tér valamilyen pontján önállóan léteznek, de valamiféle létezést mindenképpen jelent. Másodrendű logika helyett jelen esetben(!) valamilyen halmazelméleti nyelvet is használhatunk:

(3) ∃α [α∈a-jó-tulajdonságok-halmaza & én∉α & te∈α]

Ebben a megformulázásban halmazokat alkalmazunk, így valamilyen logikai-matematikai értelemben azok létezésében is hiszünk. Quine ez utóbbi megfogalmazást preferálta.

Nézzünk egy másik mondatot.  Ez utóbbi mondatnak az az érdekessége, hogy első ránézésre a formalizálása nem igényel másodrendű logikát. De gondold végig alaposan, megtévesztő a felszín.

(3) Néhány kritikus csak másvalakit csodál maguk közül, ha ugyan. (Geach-Kaplan példamondata nyomán.)

Hogy kell ezt érteni? A formulák ezt nagyon jól elmagyarázzák, jobban mint a természetes nyelv. A jobb áttekinthetőség végett a predikátumok argumentumait nem tettem zárójelbe, mert így könnyebben érthető.

(4) ∃S(∃u.Su & ∀u(Su →kritikus-u) & ∀u∀v((Su & u-csodálja-v-t) → (Sv & u≠v)))

Figyeld meg, ha senki nem csodál senkit, az is modellje a formulának, de senki nem csodálhat valakit a körön kívül, és a körön belül meg önmagával senki sem lehet eltelve, senki nem csodálhatja önmagát. Érdekes egy világ ez;-) Készíts modelleket egyszerű gráfokkal![i] Quine ezt is halmazokkal fogalmazta meg:

(5) ∃S(∃u.u∈S & ∀u(u∈S →u∈C) & ∀u∀v((u∈S & uAv) → (v∈S & u≠v))) [ii]

Quine úgy gondolta, hogy a másodrendű logika álruhába öltöztetett halmazelmélet. Otávio Bueno ­- véleményem szerint helyesen ­– azokkal ért egyet, akik elvetik ezt az azonosítást. Ugyanis a másodrendű logikában érvényes a ’∃X∀xX(x)’ formula, míg az ennek megfelelő ’∃X∀x(x∈X)’ formula nem érvényes pl. a ZF halmazelméletben. Egy másik lényeges különbség, hogy az azonosság fogalma definiálható a másodrendű logikában, míg az ennek megfelelő halmazelméleti formula önmagában nem elegendő az azonosság definíciója gyanánt. Ezt sajnos én is eltévesztettem egy régebbi az azonosságról szóló tanulmányomban. Érdemes kicsit alaposabban körüljárni a problémát, mert számos vonatkozását nem ismeri ennek sok analitikus filozófus.

Az azonosság másodrendű logikai definíciója a következő:

(6) x=y := ∀α [α(x) → α(y)]  Ruzsa Imre fölhívja a figyelmet arra, hogy a definiensben szükségtelen volna a bikondicionális használata. Az ennek megfelelő halmazelméleti formulában viszont bikondicionálist kell alkalmazzunk, ha az alkalmazott halmazelméletben nincs univerzum és így a komplementer halmaz nem értelmezhető az univerzumra nézve. Ez már önmagában elég fontos különbség. Nézzük ezek alapján a halmazelméleti megfogalmazást:

(7) x=y := ∀α [x∈α ↔ y∈α]

Látszólag ez egy jó definíció, hiszen azt mondja, hogy ha x minden olyan összességnek a tagja aminek  y is a tagja, és megfordítva, akkor x és y azonosak, egybeesnek. Mi ezzel a baj? Az a baj vele, hogy intuitíve használja a halmaz fogalmát, pl. azt, hogy mikor azonos két halmaz. A levezetésben azonban semmi másra nem hivatkozhatunk, mint ami a premisszákban ki van mondva, vagy logikailag következik a premisszákból, a jelentésekre nem. A halmazok azonossága nem logikai igazság, azt külön rögzíteni kell, és azt sem tudjuk, mi köze van a halmazoknak a fogalmakhoz. Ezt is külön rögzíteni kell, és nem is olyan egyszerű ez. Ezért a (7) definíció önmagában nem elegendő, nem lehet belőle levezetni az azonosság szokásos sémáit. A másodrendű logikai formulából viszont igen. És ez az amit sok filozófus nem igazán ért. Arról van szó, hogy a (6) formula nem más mint a megkülönböztethetetlenek azonossága elve. Ez az elv ebben a precíz formában támadhatatlan. A filozófusok csak akkor vitathatják, ha legyöngítik, és pl. az összes predikátumok körét valamilyen módon leszűkítik. Ennek egyik nyilvánvaló módja, hogy kihagyják a predikátumok közül a ’valamivel azonosnak lenni’ tulajdonságot. Ha ezt megtetszik, akkor valóban lehet filozofálni ezen az elven. A másik, aminek általában nincsenek tudatában, hogy a megkülönböztethetetlenek azonossága elvéből ebben a precíz megfogalmazásban logikailag következik az azonosak megkülönböztethetetlensége elve. Ezt jelenti ama tény, hogy (6) alkalmas definíciója az azonosságnak, mivel levezethető belőle, hogy 1. minden azonos önmagával, továbbá 2. ha x  F tulajdonságú, és x = y, akkor y is F tulajdonságú. A két nevezetes elv tehát nem független egymástól, de ezt sokan nem értik.

[i] V.ö.: John MacFarlane: Plural Quantifiers, UC Berkeley, Philosophy 142, Spring 2016—Philosophy 142

[ii] “How are we to formalize such sentences? The traditional view, defended for instance by Quine, is that all paraphrases must be given in classical first-order logic, if necessary supplemented with set theory. In particular, Quine suggests that (3) should be formalized as

    ∃S(∃u.u∈S & ∀u(u∈S →Cu) & ∀u∀v(u∈S & Auv → v∈S & u≠v))”

Egy elírást kijavítottam a fenti formulában - ’Cu’ formula helyett is halmazt ’u∈C’ alkalmaztam - és a prefix ’Auv’ írásmódot infixre ’uAv’ cseréltem a jobb érthetőség végett.

Linnebo, Øystein, "Plural Quantification", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2014 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <http://plato.stanford.edu/archives/fall2014/entries/plural-quant/>.