Sokat gondolkoztam, hogy írjak-e erről a tudománynépszerűsítő könyvről: Brian Clegg, A végtelen rövid története.[1] Mások sokkal, de sokkal jobban értenek ehhez a témához, Ruzsa Imrének vagy Vekerdi Lászlónak kellett volna megírnia ezt könyvet (Ha még élnének) a magyar olvasóknak, vagy Máté Andrásnak, hiszen én sem tudománytörténész, sem matematikus nem vagyok. De valamelyest tájékozott vagyok a témában, és őszintén szólva minden erénye ellenére bosszantott ez a könyv, ezért talán megbocsátható ha némi malíciával írok róla. Nem bántam meg, hogy megvettem, mondott nekem újat, tanultam belőle, bár nem vagyok biztos benne, hogy a Typotex Kiadó jól választott ezzel a könyvvel. Nyilván népszerűsége okán választotta a kiadó ezt. A könyv meglehetősen hatásvadász, a szerző gyakran elkalandozik a szorosan vett témától. A történet szereplőinek többnyire röviden ismerteti az életét, kihegyezve az érdekesebb eseményekre, mint pl. a Cantor – Kronecker ellentétre vagy a Newton Leibniz rivalizálásra. Engem érdekelnek ezek a személyes motívumok, ezért nem tartottam zavarónak az életrajzi kitérőket.

A szerző úgy ír matematikáról, hogy igyekszik „megkímélni” az olvasót a matematika formális nyelvének használatától. Úgy tűnik a könyv olvasása közben, mintha a matematika absztrakt nyelve másodlagos volna. Valóban sok minden természetes nyelven is elmondható, megértem a szerző szándékát, ez azonban nem igazolja, hogy akkor az absztrakt szimbólumok használata mellékes, nem lényegi. Épp az ellenkezőjét gondolom, a halmazelméletben lényegi előrelépést hozott a formális logikai apparátus használata. De spongyát rá, nem az a legfőbb bajom a könyvvel.

A magyar kiadást fogom idézni, abban a reményben, hogy jó a fordítás, az oldalszámok szögletes zárójelben az elektronikus (pdf) verzión alapulnak.

Ez nem könyvismertetés, csak a kifogásaimat, kételyeimet tartalmazza. A könyv kétségtelen értékeivel nem foglalkozom, csak a szerintem kétséges megállapításaival.  Sorra veszem a szerintem vitatható megállapításokat, mindegyik után röviden összefoglalom a kifogásomat. A fordító is több megjegyzést, korrekciót fűzött az eredeti szöveghez, ezekre nem térek ki külön. Lássuk ezek után a kifogásaimat.

1. „Aki sikerrel vette az általános iskolai matematika támasztotta akadályokat, azt követően biztosan találkozott a ∞ szimbólummal (bár látni fogjuk majd, hogy a csatornába esett részeges nyolcas nem a valódi végtelen, csak egy kísérteties szélhámos).” [7] Én ebben nem vagyok olyan biztos, ez a jel gyakran a természetes számok végtelenségének, egyfajta aktuális végtelennek az értelmében szerepel, pl. sorozatok összegzésekor.
2. „Zénón ezt a kérdést teszi fel: hogyan tudjuk a két esetet megkülönböztetni? Hogyan érzékeli a nyíl a különbséget? Honnan tudja az első nyíl, hogy a következő pillanatban pozíciót kell változtatnia, míg a mi pillanatfelvételünkön látszólag ugyanolyan másik mozdulatlan marad?” [22] Érdekes megközelítés, magam is használom. Valóban, abból, hogy a nyíl egy t időpontban x helyen van, nem tudjuk kikövetkeztetni, hogy mozog-e vagy áll. Ahhoz ismerni kéne t időpontban az út-idő függvény deriváltját is (egy adott vonatkoztatási rendszerben) és akkor már tudnánk, hogy áll-e vagy mozog. Newton szellemében a sebesség-idő függvény folytonos függvény, épp úgy mint az út-idő függvény. Tehát ebben a modellben a mozgó nyílnak minden egyes időpillanatban van sebessége, nem csak egy időtartományban. Ez furcsa lehet, de többnyire nem gondol bele a felületes tanuló. (Érdekes filozófiai kérdés, hogy az idő valóban pillanatokból áll-e, Michael Dummett-nek van erről egy jó írása.[2]) De az, hogy pusztán egy koordináta adat ismeretében nem tudjuk, hogy a nyíl mozog-e vagy áll miért lenne ellentmondás, miért lenne paradoxon? Nem így szokták a nyíl paradoxont megfogalmazni.[3] Később így látja a paradoxon feloldását:
3. „…Míg általában összeadjuk a sebességeket, amikor egy másik mozgó tárgy felé, vagy kivonjuk azokat, amikor valami mással megegyező irányba haladunk, a fény esete speciális abban az értelemben, hogy nem engedelmeskedik ezeknek a szabályoknak. Ez az elképzelés áll a speciális relativitáselmélet középpontjában, amely aztán Zénón nyilának problémáját is kezelhetővé teszi.”[23]

Nem értem, hogy jön a mozgás paradoxonjához a speciális relativitáselmélet? Szerintem a megoldást Newton találta meg az analízis felfedezésével már jóval korábban.

4. „Peano definíciója lehetővé teszi számunkra, hogy ezeket a számokat halmazok olyan sorozataként építsük fel, amely szinte magától értetődő.[180] …

Az üres halmaz jele ∅, így a számok (háromig) a következők

lesznek:

0 := ∅ Az üres halmaz

1 :={∅} Egyetlen halmazt (az üres halmazt) tartalmazó halmaz

2 :={∅,{∅}} Két halmazt (az üres halmazt és az üres halmazt tartalmazó halmazt) tartalmazó halmaz

3 :={∅,{∅},{∅,{∅}}} Három halmazt (az üres halmazt, az üres halmazt tartalmazó halmazt, valamint az üres halmazt és az üres halmazt tartalmazó halmazt tartalmazó halmazt) tartalmazó halmaz”[181]

Szerintem ez NEM Peano meghatározása, hanem Neumann Jánosé. Peanoé a következő:

1. Az 1 természetes szám.
2. Minden természetes számnak van utódja.
3. Az 1 nem utódja semmilyen természetes számnak.
4. Az azonos utódú számok azonosak.
5. Az indukció elve

A klasszikus Peano-axiómák a természetes számok szerkezetét írják le, nem mondják meg, hogy mik a számok. Több, egymással ekvivalens változatuk létezik. A mai logikában általában egy konstans jelet (0) és egy egyargumentumú függvényjelet (S, az utódképző) használnak. Amit a szerző sejtet, hogy a számok halmazok, erősen vitatható. Sokkal inkább arról van szó, hogy a számok jól modellálhatóak a halmazelméletben.

Cleggnek abban kétségtelenül igaza van, hogy Peano szellemében bevezethetőek a természetes számok:

1=S(0),

2=S(S(0)),

3=S(S(S(0))), stb.

5. „Russell immár készen állt, hogy összezavarjon bennünket. Egyes halmazok önmaguk elemei. Most láttunk egyet. Hasonlóképpen, néhány halmaz nem eleme önmagának. Az „összes zenedarab” halmaza nem egy zenedarab. A könyvtár – a könyvek halmaza – maga nem könyv. Russell az összes olyan halmazt vette, amelyek nem elemei önmaguknak. Gondoljunk ezeknek az „önmaguknak nem elemei” halmazoknak a halmazára. Ez a halmaz – kérdezte Russell – eleme‑e önmagának?”

Nekem úgy tűnik, Clegg nem igazán érti a probléma lényegét. Russellnek esze ágában sem volt összezavarni bennünket, ő még az igazságot kereste, neki nem rombolás volt a célja – mint némelyik mai filozófusnak. Russell olvasta Gottlob Frege egyik munkáját és hibát, ellentmondást talált benne. Frege úgy gondolta, hogy minden jól meghatározott fogalomnak (egyargumentumú predikátumnak) a terjedelme egy individualizálható összesség, azaz egy halmaz. Russell rájött, hogy ez az axióma ellentmondásra vezet. Mert az bizonyosan egy jól meghatározott fogalom, hogy egy halmaz eleme önmagának vagy nem eleme önmagának. Akkor vegyük az önmagának nem eleme fogalmat, ennek is kell legyen terjedelme, ami az axióma alapján egy halmaz. (Nem nyilvánvaló, hogy halmaz!) És most az a kérdés, hogy ez utóbbi halmaz eleme-e önmagának? Bárhogy válaszolunk ellentmondásra jutunk. Mi következik ebből? Mindebből logikailag az következik, hogy a kiindulópontunk, az absztrakciós axióma téves, el kell dobni, vagy ki kell javítani. Mindez megtalálható Quine, A logika módszerei c. könyve végén, onnan vettem, érdemes elolvasni.[4] Számos megoldás született a problémára, az egyik első Russell típuselmélete, de más megoldások is vannak, köztük a manapság általánosan elfogadott ZF vagy ZFC halmazelmélet, melyet a könyv is említ. Ilyen alternatív halmazelméletek: Quine: New Foundations (NF), NFU (New Foundations with Urelements), Ackermann-féle halmazelmélet,  NBG osztályelmélet, John von Neumann, Paul Bernays és Kurt Gödel rendszere, Morse–Kelley (MK), Zsebhalmazelmélet (Pocket Set Theory), Peter Aczel különös rendszere.

(Az én írásom a témáról: https://ferenc.andrasek.hu/old/rpx_hun08a.pdf)

6. Szerintem vitatható amit Brian Clegg ír:

„Mint minden matematikai konstrukció, a halmazelmélet is egy sor „axiómán” alapul. Ezek olyan alapvető feltevések, amelyeket meg kell tenni, és amelyekből minden levezethető, amit a halmazokról csak tudunk. Cantor eredeti elképzeléseit az idők folyamán kissé módosították, a halmazelmélet ma elfogadott alapszabályrendszerét a finomításban főszerepet játszó két matematikus után Zermelo–Fraenkel-féle axiómarendszernek nevezik. De még ez a nyolc alapaxiómából álló rendszer is rejt paradoxonokat, köztük azt is, amelyre Russell mutatott rá.”

Az utolsó mondat számomra kétséges, jó lett volna, ha bemutatja ezt az ellentmondást a szerző. Szerintem Cantor eredeti elképzeléseit a formális nyelvi megfogalmazás lényegesen pontosította, ez nem „kissé módosítás”. Valóban nem tudjuk bebizonyítani, hogy pl. a ZF halmazelmélet ellentmondásmentes, de ez nem jelenti azt, amit a szerző tévesen sugall, hogy akkor ellentmondásos. Eddig nem találtak ellentmondást benne, ha mégis találnának, majd kijavítják. 

7. „Nehéz elképzelni, hogyan lehetne valaha is biztos választ adni arra a kérdésre, hogy az idő végtelen‑e, vagy sem.”[267]

Igen, egyetértek, a józan észnek ellentmond az idők kezdete gondolat. De azt is tudjuk, hogy a csillagok nem örök életűek, véges idő után, kihunynak, sőt, némely elméletek szerint, még az atomok sem örök, azaz végtelen hosszú életűek. De akkor hogy lehet, hogy még vannak csillagok, és mi itt vagyunk? A végtelen idő legalább olyan zavarba ejtő, mint a véges.

Brian Clegg (1955–) jelentős tudománynépszerűsítő író, számos könyve van a tudomány legkülönbözőbb területeiről. Több mint harminc könyvet írt. A lancashire-i Rochdale-ben született, természettudományokat (kísérleti fizika szakirányon) tanult a Cambridge-i Egyetemen. A diploma megszerzése után egy évet töltött a Lancasteri Egyetemen, ahol megszerezte második mesterdiplomáját (MA) operációkutatásból.

[1] Clegg, Brian (2003). A brief history of infinity: the quest to think the unthinkable. London: Robinson. magyar kiadás, Brian Clegg (2025). A végtelen rövid története. ford. Kovács József, Budapest: Typotex. Van eBook formátumban is.

[2] Michael Dummett „Is Time a Continuum of Instants?” Philosophy. 2000;75(4):497-515. doi:10.1017/S0031819100000644 https://www.researchgate.net/publication/231984042_Is_Time_a_Continuum_of_Instants

[3] Lásd erről az én írásomat. https://ferenc.andrasek.hu/doc/a-nyil-paradoxon3.pdf

https://ferenc.andrasek.hu/papers/on-the-arrow-paradox.pdf

[4] Willard Van Orman Quine (1968). A logika módszerei. (Ford. Urbán János) Budapest, Akadémiai, 283. oldal.