analitikus filozófiai elmélkedések

Filozófiai Széljegyzetek

Hány dolog van a szobában?

42. filozófiai talányok

2019. január 16. - quodlibet

1. Két példa

Logika órán a következő egyszerű feladatot kapjuk: formalizáljuk a klasszikus elsőrendű logika nyelvén, a „Van egy ibolya a szobában.” mondatot –  az időadattól az egyszerűség kedvéért eltekintünk.  Bevezetve a következő jelöléseket:  Sx:= x – a szobában van; Bx:=x – ibolya; a formula a szokásos felfogásban így fest:

(1) $x (Sx & Bx)

A fenti (1) formula kielégíthető – azaz igaz – egy olyan U tárgyalási univerzumon, melynek részhalmaza a szobában lévő dolgok halmaza, és a halmaz elmei között van egy ibolya.

Más módon is kifejezhetjük ugyanezt a tényt. Legyen pl. S a szobában lévő dolgok, B pedig a kék ibolyák halmaza. Ekkor feltételezzük, hogy létezik a szobában lévő dolgok halmaza és a kék ibolyák halmaza is. Ekkor így fogalmazhatunk:

(1’) 0 >< S ∩ B

A minket érdeklő kérdés az, hogy vajon mik az S halmaz elemei?

A következő példával azt kívánjuk kifejezni a formális logika nyelvén, hogy legalább két dolog van a szobában:

(2) $x$y (Sx & Sy & x >< y)

A fenti (2) formula kielégíthető – azaz igaz – egy olyan U tárgyalási univerzumon, melynek részhalmaza a szobában lévő dolgok halmaza, és a halmaz legalább kételemű. Ezzel a technikával, az azonosság predikátum alkalmazásával, könnyedén ki tudnánk fejezni, hogy van három, négy, öt vagy bármilyen véges sok dolog szobában, csak a formulánk lenne egyre bonyolultabb, egyre kevésbé érthető. Annak a megfogalmazása, hogy van olyan véges szám, amely egyenlő a szobában lévő dolgok számával, viszont már sokkal fejlettebb apparátust igényelne, de ez most ne nyugtalanítson bennünket, mivel most csak elemi logikai ismertekre van szükségünk. Amire ügyelnünk kell, hogy a fentiek megfogalmazásához szükségünk volt változók és kvantorok használatára, valamint az azonosság predikátumra. Mindez érthetőnek tűnik logika órán, de nem a metafizika szemináriumon. A következőkben ezeknek a logikában használatos alapvető eszközöknek a filozófiai vonatkozásaival foglalkozunk.

Hogyan értendő a ’Legalább két dolog van a szobában.’ mondatban a ’dolog’ szó? A mondatban a ’dolog’ szó nem valamiféle olyan létezőt jelöl, amikre igaz a ’dolog’ tulajdonság, hanem a ’dolog’ szó bármit jelöl ami névvel nevezhető, azaz logikai szempontból a mondatban a ’dolog’ kifejezés névmás szerepét tölti be. Tehát a mondat így is megfogalmazható azonos logikai tartalommal, azonos jelentéssel: ’Valami van a szobában és rajta kívül másvalami is van még a szobában.’  A logikai kérdés ezek után pontosabb megfogalmazásban a következő: (1) és (2) interpretált formulákban mik lehetnek x és y változók értékei, mik a dolgok? Feltételezzük, hogy elvben minden dolog megnevezhető, még akkor is, ha nincsen minden dolognak neve és nem állíthatóak feltétlen egy az egyhez megfelelésbe a dolgok és nevek. De ez önmagában nem megnyugtató válasz, továbbra sem értjük, hogy mik a dolgok?

2. Költözés után

Költözés után vagyunk, kipakoltunk a dobozokból, és mindent behordtunk a szobába. Meglátogat bennünket barátunk N.N. úr, aki újabban filozófiai ontológiával foglalkozik, és ezt kérdezi hamiskás ábrázattal tőlünk: „Hány dolog van a szobában?”.  A válaszhoz megszorozzuk a szobába kipakolt dobozok számát a benne lévő dolgok számával, és az így kapott számok összegét válaszoljuk a kérdésre. Barátunk azonban nem fogadja el válaszunkat, és ezt mondja.  „Áthoztátok a kávés cukortartót, benne a kockacukrokkal, ezeket nem tekintheted egy dolognak, számold külön az összes kockacukrot. Azon kívül vegyük a sótartót, ami szintén nem üres, benne sok só szemcsével, ezeket is számba kell vegyed. Áthoztad a vázát, benne az ibolyával, de a virág szirmait is meg kell számoljad, sőt ne feledkezz meg arról, hogy a vázába vizet töltöttél, így valamiképp arról is számot kell adjál. És ne feledd, nem fulladtál meg a szobában, mert benne levegő van, de megfeledkeztél a levegő molekuláiról. Továbbá az ablakon bejön a fény, így a szobában fotonok is vannak, sőt rádióhullámok is.   Sőt alapvető tény, hogy beléptél a szobába, mert létezik a szobán belüli tér, és annak pontjai. Mindezek a létezők lehetnek az értékei az „x – a szobában van” nyitott mondatnak.” Barátunk véleménye természetesen ellentmond a józan észnek, de jelen esetben a józan ész álláspontja nem kielégítő. Nem kielégítő mert filozófiával foglalkozunk, és nem a szállítómunkásokat ellenőrizzük. A filozófia, azon belül a metafizika elmegy a határokig, a létezés végső kritériumait keresi – hogy egy kicsit homályosan, de talán érthetően fogalmazzak.

3. Thomasson ellenvéleménye

Amie L. Thomasson a hétköznapi tárgyakról írt könyvében mégis azt állítja, hogy N.N. úr kérdése értelmetlen.[i] Ezt az állítást filozófusként teszi. Thomasson szerint csak akkor volna értelme barátunk kérdésének, ha a ’dolog’ szót megszorítással értené, pl. az említett mondat összefüggésében ’dolog’ alatt közepes méretű, kézbe fogható, elmozdítható, és közben önazonosságát megtartó fizikai tárgyakat értene. A kérdés csak akkor volna értelmes, ha valamiféle fajta nevekre, kategóriákra vonatkozna ilyen módon: hány szék, hány bútor, hány könyv, hány szőnyeg, hány váza van a szobában? De a ’dolog’ szót teljesen általánosan értve a kérdés értelmetlen. Thomasson figyelmét mintha elkerülné, hogy a logika nyelve így, minden megkötés, minden megszorítás nélkül érti a ’dolog’ szót példamondatbeli szerepét, a ’$x$y (Sx & Sy & x >< y)’ formulában nincsen semmiféle kikötés, megszorítás a változók értékeire nézve. A dolgok ott vannak a szobában úgy ahogy vannak, függetlenül attól, hogy mi  mit gondolunk felőlük, következésképen pont annyi dolog van a szobában amennyi van, se több se kevesebb. Másképp fogalmazva, létezik, azaz definiálható a szobában lévő dolgok halmaza: H := {x: x—a szobában van}, van olyan, hogy a szobában lévő dolgok halmaza. Ha helyes ez az álláspont, akkor bármiről el kell tudjuk dönteni teljes bizonyossággal, hogy az a valami a szobában van vagy nincs. Ezek alapján talán létezik H halmaz, hiszen bármiről eldönthetjük, hogy eleme H-nak vagy sem.

Thomasson könyvében egy ontológiai és ehhez szorosan kapcsolódó ismeretelméleti állítást fogalmaz meg és védelmez, de nem vonja le ezek végső konzekvenciáját. Szerinte bármi ami létezik egy ontológiai kategória elemeként létezik, nem léteznek dolgok ontológiai kategóriáktól vagy fajtáktól függetlenül. Ezek az ontológiai állítások. Az ennek megfelelő ismeretelméleti állítása az, hogy nem azonosíthatunk semmit, sem rámutatással, sem körülírással,  ha nem tudjuk, hogy mi az amit azonosítunk. A teljesen általános ’dolog’, vagy ’entitás’ kifejezések használta értelmetlen, a „Hány dolog van a szobában?” vagy „Van-e valami a szobában?” kérdések csak megszorítással, kategória vagy kategóriák általi korlátozással értelmesek, ha a ’valami’ kifejezést teljesen általánosan értjük, úgy értelmetlenségek.  Tehát Thomassan szerint a ’Semmi sincs a szobában.’ mondat, ha a tagadást teljesen általánosan, minden körülhatárolás nélkül értjük értelmetlen. (Bár, mint megjegyzi, ezek a korlátozások, körülhatárolások gyakran hallgatólagos feltevések.) Csakhogy a világnak nincsen egy kizárólagosan helyes, egyértelmű kategória rendszere, a dolgok a filozófiai kategóriák többféle, egymással nem ekvivalens rendszerében is leírhatóak, amiből elfogadva Thomasson álláspontját, az a súlyos ontológiai következmény fakad, hogy a dolgok nem léteznek bármiféle kategória rendszertől függetlenül, csak úgy, önmagukban, hanem csak kategóriák, fajták összefüggésében. Mivel ez a belátás úgy tűnik szembe megy az uralkodó realista metafizikai állásponttal, Thomasson megriad tőle, idáig nem jut el, ezeket a következményeket nem vonja le álláspontjából. Thomasson azzal is tisztában van, hogy tézise némileg ellentmond Kripke elsődleges névadásról szóló tanításának. (Thomasson álláspontja hasonlít a relatív azonosság koncepciójához, de erre most nem térek ki.)

4. Ellenvélemények

Első pillanatra úgy látszik Thomasson koncepciója nyilvánvalóan téves, sőt abszurdumnak, önellentmondásnak tűnik.

(i)Teljesen mindegy, hogy van-e fogalmunk az elektronról, az elemi részekről, mindegy, hogy megszületett-e a modern fizika, az elektronokat ez egyáltalán nem érdekli, attól függetlenül léteznek. Thomasson mintha valamiféle tarthatatlan idealizmust képviselne, amikor azt állítja, hogy a dolgok csak mint kategóriák vagy fajták elemei létezhetnek, azoktól függetlenül nem.

(ii) Valamennyien voltunk már olyan helyzetben, hogy láttunk valamit, amiről nem tudtuk, hogy micsoda. Meglehet nem is egyedül láttuk, hanem másokkal együtt, és mások is tanácstalanul álltak a látvány előtt, nem tudták értelmezni amit látnak. Láttak valamit, biztosak voltak benne, hogy van ott valami, de hogy micsoda, arról fogalmuk sem volt. Tehát a dolgok kategóriába való tartozása nem feltétele annak, hogy tudjuk, van ott valami.

(iii) Az az állítás, hogy „Nincs olyan dolog, ami semmilyen kategóriába nem tartozik, nincsenek dolgok önmagukban, kategória rendszertől függetlenül.” maga is a ’dolog’ fogalmának teljesen általános értelmét használja, anélkül egyszerűen értelmetlen. Gondoljunk bele, amikor azt állíjuk, hogy ’Bodri egy kutya’, akkor ez a mondat halmazelméleti nyelven azt jelenti, hogy Bodri eleme a kutyák halmazának. Csakhogy ez a megfogalmazás feltételezi, hogy létezik a kutyák halmaza. De a kutyák halmazában lévő állatoknak már az előtt, attól függetlenül létezniük kell, hogy az állatok halmazán belül meghatároztuk a kutyák részhalmazát. Úgy tűnik a már létező állatnak egy lényegi tulajdonsága, hogy kutya, nem pedig létezési feltétele. A probléma újra fogalmazható az ’állat’ fogalomra, és így egyre tovább, egyre feljebb, amíg már nincsen további „nem” (genus) fogalmunk, csak maguk a puszta dolgok. Így Thomasson álláspontja használja azt, amit tagad, saját koncepciója eleve feltételezi a dolgok önmagában való létét, tehát álláspontja önellentmondó, abszurdum. De vajon tényleg az? Sok szempontból meggyőzőnek tűnik, talán másképp, körbeforgás nélkül is megfogalmazható az álláspontja.

Egyéb irodalom:

Daniel Z. Kornan: Objects – Nothing out of Ordinary (2015)  OUP

Mark Sainsbury: Thinking about Things (2018) OUP

[i] Amie L. Thomasson: Ordinary Objects (2007) Oxford University Press

Mi az igazság 2.?

41. filozófiai talányok

Vajon az alábbi hét állítás közül melyik igaz, melyik hamis és melyik paradoxon? Paradox mondat alatt jelen esetben a bizonytalan, váltakozó igazságértékű, vagy ’igaz’ vagy ’hamis’ logikai értékkel nem rendelkező mondatokat értjük. Jelen esetben egy mondat logikai-grammatikai értelemben nem jól formált amennyiben igazságértéke önmaga igazságértékétől (is) függ.

(1) Ez a mondat értelmetlen, nincs jelentése.

(2) Ez a mondat egy paradoxon.

(3) Ez a mondat nem jól formált (logikai-grammatikai értelemben).

(4) Ez a mondat nem igaz vagy egy magyar mondat.

(5) Ez a mondat nem igaz vagy egy angol mondat.

(6) Ez a mondat nem igaz vagy nem jól formált mondat (logikai-grammatikai értelemben).

(7) Ez a mondat nem igaz vagy jól formált mondat (logikai-grammatikai értelemben).

Lehet-e egy logikailag részben hibás, vagy zavaros értelmű mondat igaz (pl: Kiszera méra bávatag vagy a hó fehér)? Azért zavarba ejtő a kérdés, mert ha a mondat értelmetlenséggel kezdődik (Kiszera méra bávatag) akkor honnan tudjuk, hogy a többi része (vagy a hó fehér) már értelmes, és nem valamilyen más módon, pl. véletlen jelsorozatként értendő, ahogyan már nincs értelme?  Meglehet, hogy az értelmetlenség az egész mondat értelmét, jelentését kérdésessé teszi. A fenti hét állítás közül melyik tekinthető a megerősített-hazug paradoxon mondatának?

Nézni való:

Mi az igazság?

40. filozófiai válaszok

„Mi az igazság” kérdezte Pilátus a Mestert, de meg sem várta a választ, mert nem hitt az igazságban. Rosszul tette.[i]

Tudni való, hogy az emberi mondatokat három zsákban gyűjti az Úristen. Jobb keze mellett vannak az igaz kijelentő mondatok, balján a hamisak, míg a bizonytalan vagy zavaros értelműek a középső zsákba kerülnek. Valamennyi mondat egy papírszeletre kerül, és katonás rendben minden papírszeleten egy jel van, olyan gondosan, hogy semelyik mondat nem marad ki a jelölésből, és nincs két mondat azonos jellel ellátva, továbbá minden mondat csak egyszer fordul elő. Nem hagyja az Úr, hogy az angyalok tétlenül lóbálják a lábukat a felhők szélén. Bambulás helyett az a dolguk, hogy a középső zsákból kivegyék a homályos értelmű mondatokat, és értelmező megjegyzésekkel ellátva megpróbálják azokat szilárd, világos jelentéssel ellátni. Mikor ez sikerül nekik, a mondat ismét az Úristen színe elé kerül, aki a megfelelő jobb vagy baloldali zsákba helyezi a javított mondatot.

Történt egyszer, hogy Lucifer borsot akart törni az atya orra alá, és azért a következő mondatot csempészte az angyalok elé:[ii]

(λ) Ez az λ-jelű mondat, amit olvasol, összezavar, nem találsz fogást rajta, mert nem igaz vagy igazsága bizonytalan, vagy talán nincs is neki.

Az angyalok elolvasták a cetlit, megértették az abban foglaltakat, hiszen teljesen világos hogy miről szól ez a mondat. Az ördög mondata önmagáról szól. De nem azt állítja, hogy hány betűből áll, vagy hogy milyen nyelven íródott, hanem az igazságáról állít valamit. Valami furcsát, szokatlant mond, ami egyszerűnek és teljesen érthetőnek tűnik, vagy talán valóban az is. Már csak az a kérdés, hogy melyik zsákba kerüljön? Az angyalok néhanapján szerényen odaírták a javaslatukat a cetli hátoldalára, de ez esetben vitatkozni kezdtek egymással, olyan hangosan veszekedtek, hogy fölébresztették a trónusán szunyókáló atyát, aki feddőleg megintette őket: „Ne veszekedjetek, hozzátok csak elém azt a mondatot, majd én eldöntöm a kérdést. Ha valóban teljesen érthető és egyértelmű, amit a mondat mond, akkor bizonyosan vagy igaz, vagy hamis, harmadik eset nem lehetséges.” Így gondolkozott. A mondat igazsága a tényektől függ, és tény az, hogy nem egyértelmű a mondat igazsága, tehát úgy van ahogy mondja. Márpedig ha a valóság úgy van ahogy a mondat mondja, akkor az a mondat igaz, tehát az λ nevű mondat igaz. Várjunk csak, mielőtt betesszük a jobboldali zsákba, hogy is van ez? Ha az λ nevű mondat igaz, akkor úgy van ahogy mondja. Márpedig azt mondja, hogy nincs neki vagy csak bizonytalanul van igazsága, márpedig a jobboldali zsákban csak olyan teljesen bizonyos igazságok vannak, mint, hogy „A hó fehér”. Ez a mondat nem ilyen, tehát nem kerülhet a jobboldali zsákba. Akkor pedig a baloldali zsákba kell kerüljön, a hamisak közé, mert bizonyos van értelme ennek a mondatnak, csak egy kicsit becsapós. Tehát nem igaz, hogy ez a mondat, amit olvasol, összezavar, nem találsz fogást rajta, mert nem igaz vagy igazsága bizonytalan, vagy talán nincs is neki. Már majdnem a következő mondat után nézett az Úr, amikor meghallotta Lucifer kuncogását. Újra elgondolkozott. Ha ez a mondat hamis, akkor egyértelmű igazságértéke van, biztos, hogy nem igaz. Ha viszont nem igaz, akkor miképpen lehet, hogy amit a mondat mond megfelel a tényeknek: nem igaz vagy igazsága bizonytalan … Az igazsága nem bizonytalan, viszont a vagy kapcsolat másik fele teljesül, nevezetesen, hogy a mondat nem igaz. Ekkor pedig maga a mondat egésze is igaz kell legyen, és nem pedig hamis. Ellentmondásba keveredtünk, de most már világos a helyzet: a mondat se nem igaz, se nem hamis, hanem merő értelmetlenség, zűrzavar, és ez bizonyosság. Hoppá, a mondat épp ezt állítja, tehát igazat mond, akkor mégiscsak igaz. Ezt azonban már egyszer megvizsgáltuk, kezdhetjük előröl, ördögi körbe kerültünk. Ekkor azonban fölnézett az Úr a trónusa fölé és csendesen elmosolyodott.

tarski.jpgA dolog úgy történt, hogy ide érkezett egy bizonyos Alfred Tarski nevű lélek, aki egyszer a mennyországbeli villásreggelinél amint Cantorral és Russellal beszélgetett halkan megjegyezte, hogy nincs az jól, hogy az atyának csak három zsákra telik. Építsünk neki végtelen sok emeletet a trónusa fölé végtelen sok zsákkal. Georg te hozod az alapanyagot a végtelen sok emelethez, Bertrand, te pedig alkosd meg a szinteket. Így is lett. Amikor az atyának eszébe ötlött, hogy az első emeleten lévő zsákokban olyan mondatok vannak, melyek a földszinti mondatokról szólnak, a második emeleten pedig azok, melyek az első emeleten lévő mondatokról, egy laza mozdulattal földobta Lucifer mondatát egy emelettel följebb az egyik zsákba. Ezt látva Lucifer leforrázva elsomfordált. Miért érezte legyőzve magát a gonosz szellem? Most akkor Lucifer mondata igaz vagy sem? Lehet erre egyáltalán meggyőző választ adni, mi az igazság? Röviden elmagyarázom.

Lucifer λ nevű mondata L1 emberi nyelv része. Az Úr ezt a mondatot a szeráfok nyelvén, eggyel magasabb szintű L2 nyelven értékeli ki. Ezen a magasabb szintű nyelven használjuk az ’igaz1’ és ’hamis1’ metanyelvi (szemantikai) predikátumokat, melyek terjedelmébe a tárgynyelv mondatai tartoznak, így ide tartozik Lucifer (λ) nevű mondata is. A nyelvi szintekre utal a szemantikai predikátumok indexe. Metanyelvi szinten λ sem nem igaz1 sem nem hamis1. Tehát L2 nyelven – halmazelméleti nyelvet használva – azt állítja az Úr, hogy, λ∉igaz1 és λ∉hamis1. Utóbbi mondat neve, egy még magasabb szintű L3 nyelven μ. (μ='λ∉igaz1 és λ∉hamis1') L3 nyelven definiált ’igaz2’ fogalom szerint, az Úr μ nevű mondata igaz2,ami természetes, hiszen az Úr mindig igazat mond. Foglaljuk össze mindezt egy táblázatban:

Nyelv

Mondat

Metanyelvi értékelés

L1

Ez az λ-jelű mondat, amit olvasol, összezavar, nem találsz fogást rajta, mert nem igaz vagy igazsága bizonytalan, vagy talán nincs is neki.

Nincs igazság1-értéke

L2

Lucifer mondata sem nem igaz1 sem nem hamis1.

Igaz2

L3

Igaz2 az, hogy Lucifer mondata sem nem igaz1 sem nem hamis1.

Igaz3

Tarski koncepciójában minden n nyelvi szinten érvényes az a (T) kritérium, hogy ha egy n-1 szinten megfogalmazott p mondat neve n nyelvi szinten x, akkor és csak akkor x-igazn-1-n nyelvi szinten, ha p. Másképp mondva, x-igazn-1-n nyelvi szinten, pontosan akkor, ha úgy van, ahogy az x nevű mondat mondja. Lényeges, hogy visszafelé is érvényes a tétel, tehát ha azt állítjuk, hogy p, és p neve x, akkor x-igaz. Az igazság fogalma meghatározása formális nyelven, formálisan korrekt és materiálisan adekvát módon kell legyen kidolgozva; másképp mondva következnie kell belőle az összes (T) formájú ekvivalenciának. Ruzsa Imre megjegyzi, hogy Tarski koncepciója olyan formában is megfogalmazható, hogy az igazság hordozói kijelentések (propozícók) és nem (bizonyos egyértelmű információ tartalommal rendelkező, időtlen igazságértékű) mondatok.[iii] Kripke, Barwise vagy Belnap és mások újabb igazság elméletei más igazság fogalmat definiálnak, így ezek nem cáfolatai, hanem alternatívái Tarski elméletének. A poszt szövege innen letölthető.

[i] A szöveg rövidebb formában korábban megjelent a Namitgondolsz.hu blogon.

[ii] A Milétoszi Eubulidész, Epimenidész, Alfred Tarski és Ruzsa Imre nyomán.

[iii] Alfred Tarski, Bizonyítás és igazság (1990) Gondolat, Bp., pp 74-78 szerkesztői kommentár. Megjegyzem, hogy a könyv 69. oldalán téves az az állítás, hogy ‘(A<-->p)-->~p’ formula ekvivalens ’~A’-val. Valójában ez csak akkor igaz, ha p=A. Ettől függetlenül a Tarski által fölismert ellentmondás létezik.

Vannak-e csodák?

39. filozófiai talányok

Vajon mit tudnék valami oldottabb, könnyedebb posztot írni így a karácsonyi ünnepkör közeledtével? A keresztény kultúrkörben a karácsony is egyfajta csoda. Én szeretem a meséket, különösen a misztikus történeteket, a zsidó-keresztény mitológia is közel áll hozzám. Jó három éve írtam egy posztot a Namitgondolsz.hu részére a csodákról - sajnos kevesen értették meg. A gondolatmenet sarokpontja nem a 'csoda' fogalma, mint ahogy többen gondolták. Csoda pl. hogy Jézus vízen járt, halottat föltámasztott, vagy maga a születése, hogy a három királyt egy fénylő csillag vezette oda. Az érvhez nem szükséges a csoda definíciója, de redukciós axiómák (Carnap fogalma) azért adhatók: Ha x csoda, akkor van olyan y általános igazság (pl. természettörvény) aminek x feltételezett létezése ellentmond. Ha x következménye egy y általános igazságnak (pl. természettörvénynek) akkor x nem csoda. A csoda tehát valamilyen egyedi történés, egyedi esemény, ami ellentmond a fizikalista világképnek, annak, hogy nincsenek extra fizikai ágensek, természetfeletti hatalmak, melyek időnként beavatkoznak a dolgok menetébe. (Itt most a fizikalizmus nem olyan korlátozott felfogásban értendő, ahogy a korábbi 37. poszt tárgyalta, hanem széles értelemben, amely nem zárja ki az összes univerzálé létét.) Az is mellékes, hogy léteznek-e csodák. Ebből az irányból nem jól támadható az érvem. Most újra leközlöm az eredeti szövegemet a csodákról.  Hátha csoda történik, és valaki megérti. harom-kiralyok.jpg

Nincsenek csodák, ugye te is így gondolod. Bizonyára úgy gondolod, hogy nemcsak csodák nincsenek, vagy csak nagyon ritkák, vagy csak nagyon valószínűtlenek, hanem azt is gondolod, sohasem nem történt egyetlen egy csoda sem eddig, és nem is fog történni a jövőben sem. Még ez sem elég pontos. Arra gondolsz valójában, hogy csodák szükségszerűen nem léteznek. Azért gondold ezt, mert bízol a természettudományban, és úgy véled a természettudományos gondolkozás és a csodákban való hit kizárja egymást. Nevezzük ezt ’(A)’ álláspontnak.

Fontos ezt jól megérteni, elmondom kicsit részletesebben egy példa segítségével.

Senki soha nem tud járni a vízen; ezt mondja nekünk a természettudomány. Mit jelent ez? Elképzelhető, hogy volt valamikor régen valaki, akinek lett volna lehetősége, hogy a vízen járjon, de elmulasztotta a kedvező alkalmat. És azóta sem született senki, és talán soha nem is fog, aki tudna járni a vízen, ha megpróbálná. Azért említem ezt a lehetőséget, hogy világos legyen: ’(A)’ álláspont szerint többről van szó, minthogy sem a múltban, sem a jelenben, sem a jövőben soha senki nem fog járni a vízen. Arról van szó, hogy lehetetlen járni a vízen. Ezt másképp úgy is mondhatjuk, hogy:

(A1) szükségszerűen igaz, hogy bármely x személyre és t időpontra nézve x nem jár a vízen t-kor.

Úgy tűnik, hogy a csodákban való gyengébb és erősebb hit sem fér össze a természettudománnyal. Kérdés azonban, hogy van-e még a csodákban hívő számára logikai egérút? Lehet-e hinni bármi módon legalább egyetlen csodában úgy, hogy azt ne tudja cáfolni a természettudomány? Nevezzük ezt ’(B)’ álláspontnak.

A ’(B)’ álláspont követője cseles módon ellentámadásba lendül imígyen:

(B1) Megbízható szemtanúk alapján állítom, hogy valaki, egykoron réges régen, egyetlen egyszer járt a vízen.

Ez kétségtelenül ellentmond (A1)-nek, de vajon hivatkozhat-e a természettudomány híve (B1) cáfolatául (A1)-re? Ezt fogja tenni, de nem lesz igaza. Azért nem lesz igaza, mert eleve feltételezi amit bizonyítani kéne. Eleve feltételezi, hogy soha senki nem járhat a vízen, holott épp az a kérdés, hogy egyvalaki egyetlen egyszer talán mégis járt a vízen. A vita tárgya egy egyedi állítás, ami ha igaz, akkor (A1) hamis, és ekkor (A1)-ből kiindulni tévedés. (B1) cáfolata csak az lehet, ha igazoljuk, hogy a szemtanúk hazudtak, vagy káprázott a szemük, netán bódult állapotban a fantáziaképeiket valóságnak vélték. Amíg nem dőlt el (B1) igazsága, addig nem hivatkozhatunk (A1)-re. Épp erre alapozza érvét a másik fél. Azt mondja: valamikor régen megtörtént egy esemény, amelyik nagyon valószínűtlen, mert csak egyetlen egyszer fordul elő, és soha többé. Ama személyt semmilyen módon nem tudjuk rávenni, hogy jöjjön vissza közénk és vegyen részt egy kísérletben, és ha visszajönne sem biztos, hogy hajlandó lenne úja a csodára. Így végső soron két választásunk van:

(A) Soha senki nem járhat a vízen.

(B) Ama egyetlen esetet leszámítva soha senki nem járhat a vízen.

Fölmerülhet a gondolat, hogy (A) általános állítást nem egyedi megfigyelésekkel valószínűsítjük, hanem olyan módon igazoljuk, hogy levezetjük más általános természeti törtvényekből. Ez rendjén való, csakhogy ezzel pusztán tovább toltuk a problémát: az érv megismételhető azon általános természeti törvény vonatkozásában, amiből (A)-t levezetjük.

Ha mindebben igazam van, akkor bebizonyítottam neked, hogy logikailag nem lehet megcáfolni (B) álláspontot. Ebből az következik, hogy lehetséges, hogy (B) igaz. Viszont ha (B) igaz, akkor lehetséges, hogy valamikor valaki egyetlen egyszer járt a vízen. Ekkor viszont (A) hamis, hiszen (A) ennek még a lehetőségét is tagadja. Következésképpen, ha lehetséges, hogy (B) igaz, akkor (A) hamis. Mivel igazoltam egy csoda lehetőségét, megcáfoltam (A)-t. De ha egy csoda lehetséges, akkor miért ne lehetne több is? Úgy tűnik történhetnek csodák. Vagy mégsem, valahol elvétettem az érvelést? Boldog Karácsonyt!

A poszt innen letölthető.

Széljegyzet Carnap ’Cogito, ergo sum’ bírálatához

38. filozófiai válaszok

1. Az alábbi megjegyzések egyáltalán nem tartanak igényt az eredetiségre vagy újdonságra. Valamikor a 80-as években írtam az első változatát, amikor a Bécsi kört olvastam, most valamelyest kiegészítettem. Carnap az Aufbauban is foglalkozott a témával, majd később híres tanulmányában visszatért rá. Utóbbi olvasható magyarul is Altrichter Ferenc fordításában: Rudolf Carnap, A metafizika kiküszöbölése a nyelv logikai elemzésén keresztül, in. A bécsi kör filozófiája, Gondolat, Bp. 1972, pp 82, 83. Carnap szerint a létezés nem állítható értelmesen egyedi dolgokról, továbbá Descartes hibásan következtet, mivel, abból, hogy Descartes gondolkozik, arra következtet, hogy Descartes létezik, holott valójában csak az következik, hogy valaki gondolkozik.[i]

2. Wittgenstein szellemében, mint értelmetlenséget, elutasíthatjuk az érvet. Valahogy így okoskodhatunk. Értelmesen kérdezhetjük, hogy Atlantisz vagy Jézus létezett-e, mindkettő létezését értelmesen állíthatjuk, vagy tagadhatjuk. De a létezés és a kétkedés önmagunkra való vonatkozása ellentmond a kételkedés, a kérdezés mindennapi nyelvhasználaton alapuló használatának, következésképpen a létezés önmagunkra vonatkozó kérdése értelmetlen. Ezt a kifogást most tegyük zárójelbe, fogadjuk el, hogy a filozófiában gyakran olyan kérdéseken gondolkozunk, ami köznapi nézőpontból értelmetlen.

A témának könyvtárnyi irodalma van, íme, néhány:

Scholz, Über das Cogito, ergo sum. (1931) In: Kant-Studien 36 pp 126–147.
Scholz, Augustinus und Descartes. (1931) In: Blätter für deutsche Philosophie 5. (1931-32) pp 405–423.
J. Ayer, I Think, Therefore I Am. (1956) In: A. J. Ayer: The Problem of Knowledge. London, Macmillan, pp 45–54.
Hintikka, Cogito, ergo sum: Inference or Perfomance? (1974) In: J. H.: Knowledge and the Known. Dordrecht–Boston, Riedel, pp 98–125.
Szabó Zoltán, A descartes-i igazságkritérium és a „cogito”. (1989) In: Magyar Filozófiai Szemle 33 pp 1–21.
Altrichter Ferenc, Cogito, ergo sum c. tanulmánya eredetileg 1976-ben jelent meg, a MFISZ-ben, később újra kiadták az „Észérvek az európai filozófiai hagyományban” c. könyvében (Atlantisz, Bp., 1993) pp.119-184.
Altrichter Ferenc, Aliquid sum. (1991) In: Magyar Filozófiai Szemle. 35 pp 387–402.
Hartl Péter, Ego cogito, ergo sum (2007) Kellék, 32, pp 17-37.

 3. A ‘Cogito, ergo sum.’ többféle, egymástól gyökeresen eltérő módon értelmezhető. Hintikka vagy Altrichter elemzésében nem a szokásos értelemben vett logikai következtetésről van szó, hanem valami másról. Carnap viszont következtetésként fogja fel. Mivel most nem filozófia történettel foglalkozunk, másodlagos számunkra, hogy melyik értelmezésre gondolt Descartes. Carnap így érti, fogadjuk el ezt: (3.1) Én gondolkozom, tehát én vagyok. Lényeges annak a belátása, hogy hogy ebben a felfogásban nincs kitüntetett szerepe a gondolkozásnak. Épp úgy jó lenne, az ’Én sétálok, tehát én vagyok.’ következtetés is. Nincsenek eszközeink az egyes szám első személy kifejezésére a klasszikus logikában, tehát (3.1) helyett valami hasonlóval tudunk csak foglalkozni: (3.2) Descartes gondolkozik tehát Descartes létezik. Ennek az egyik logikai szerkezetét (mert több is van) így fejezhetjük ki, felhasználva az alábbi definícókat: a:= Descartes; Gx:=x-gondolkozik; Ex:=x-létezik

Ekkor (3.2) fordítása így alakul: (3.2*) Ga ® Ea

Hogyan értelmezzük az ‘x-létezik’ predikátumot formális logikai eszközökkel? A másik kérdés az, hogy (3.2) valamilyen formális logikai fordítása érvényes következtetés-e, azaz a kondicionális utótagja logikai következménye az előtagnak. (Amennyiben az elsőrendű logikán belül maradunk akkor igen válasz esetén persze le is vezethető belőle.) Carnap helyesen mutatott rá, hogy ha a létezést az egzisztenciális kvantorral fejezzük ki ilyen módon: Ea:= $a, (ahol ‘a’ egy individuumnév), a következtetést pedig az alábbi formulával:

(3.3)  Ga ® $a

akkor értelmetlenséget beszélünk, mivel a ‘$a’ formula szintaktikailag hibás, értelmetlen, és ezért nem következhet semmiből. Viszont több más lehetőségünk is van a létezés kifejezésére formális logikai nyelven. A kortárs analitikus filozófusok közül sokan használják az egzisztencia predikátumot partikuláris létezők összefüggésében. Egy gyakori felfogás a következő. Valami létezik, ha van vele azonos dolog: Ea:= $x. x=a. A definíció tartalmi szempontból bírálható azon az alapon, hogy nem informatív, hiszen ebben a felfogásban minden létezik. Ez azonban csak akkor érvényes, ha a logikai tárgyalási univerzum egybe esik a metafizikai létezés tartományával. Amennyiben a két tartomány különbözik, akkor metanyelvi szinten tartalmas predikátummá válik az egzisztencia predikátum. Ekkor egy megoldás, amit pl. Altrichter is megemlít a következő. Quine nyomán csillaggal jelöltem az új premisszák oszlopát, a csillag nélküli sorok bizonyított tételek. A következőkben x és y személyek tartományán értelmezett változók.

*(3.4.1) Ga

*(3.4.2) $x (Gx & x=a) (3.4.1)

*(3.4.3) $x x=a (3.4.2)

(3.4.5) Ga ® $x x=a (3.4.1) (3.4.3)

A definíciót felhasználva: Ga ® Ea

Egy másik lehetőség, hogy alkalmazzuk Russell leírás elméletét. Legyen Dx: = x = Descartes; feltevésünk szerint Dx « x = a. Ez alapján Descartes létezik pontosan akkor, ha van egy és csak egy személy, aki Descartes. Formális nyelven:= $x (Dx & "y (Dy ® y=x))

*(3.5.1) $x"y (Gx & Dx & (Dy ® y=x))

Létezik egy és csak egy D tulajdonságú személy, aki gondolkozik.

*(3.5.2) $x"y (Dx & (Dy ® y=x)) (3.5.1)

Létezik egy és csak egy D tulajdonságú személy.

(3.5.3) $x"y (Gx & Dx & (Dy ® y=x)) ® $x(Dx & "y(Dy ® y=x)) (3.5.1) (3.5.2)

A definíciókat felhasználva: Ga ® Ea

(3.6) Legyen t az időpontok tartományán értelmezett változó; Fxt:= x gondolkozik t-kor; tegyük fel, hogy ’F’ tapasztalati predikátum; Ekkor az időbeli létezést Theodore Sider nyomán így határozhatjuk meg: Ext := x létezik t-kor; Ext := $ά άxt & ά-tapasztalati predikátum; azaz, valami létezik az időben, ha van időbeli tulajdonsága. Ekkor Descartes cogito-ja így fest:

*(3.6.1) ’F’ tapasztalati predikátum & Fat

*(3.6.2) $ά άat & ά-tapasztalati predikátum (3.6.1)

(3.6.3) "t(Fat ® Eat) (3.6.1) (3.6.2) a definíció alkalmazásával

Mint látható, Descartes tételének legalább három féle módon is adható olyan formális logikai fordítása, ahol a tétel érvényes következtetést fogalmaz meg.

A poszt innen letölthető.

[i] A magyar kötet szerint 1931-ben jelent meg az írás, viszont az általam alább idézet angol fordítás lábjegyzete szerint 1932-ben: This article, originally entitled "Uberwindung der Metaphysik durch Logische Analyse der Sprache," appeared in Erkenntnis, Vol. 11 (1932). It is published here with the kind permission of Professor Carnap. Az angol fordítás - The Elimination of Metaphysics Through Logical Analysis of Language by Rudolf Carnap (Translated by Arthur Pap) - megtalálható a neten, így nem kellett sokat gépeljek. Ezért ebből indulok ki…We meet an illustration of this error in Descartes' "cogito, ergo sum." Let us disregard here the material objections that have been raised against the premise-viz. whether the sentence "I think" adequately expresses the intended state of affairs or contains perhaps an hypostasis-and consider the two sentences only from the formal logical point of view. We notice at once two essential logical mistakes. The first lies in the conclusion "I am." The verb "to be" is undoubtedly meant in the sense of existence here; for a copula cannot be used without predicate; indeed, Descartes' "I am" has always been interpreted in this sense. But in that case this sentence violates the above-mentioned logical rule that existence can be predicated only in conjunction with a predicate, not in conjunction with a name (subject, proper name). An existential statement does not have the form "a exists" (as in "I am," i.e. "I exist"), but "there exists something of such and such a kind." The second error lies in the transition from "I think" to "I exist." If from the statement "P(a)" ("a has the property P") an existential statement is to be deduced, then the latter can assert existence only with respect to the predicate P, not with respect to the subject a of the premise. What follows from "I am a European" is not "I exist," but "a European exists." What follows from "I think" is not ''I am" but "there exists something that thinks." The circumstance that our languages express existence by a verb ('to be" or "to exist") is not in itself a logical fault; it is only inappropriate, dangerous. The verbal form easily misleads us into the misconception that existence is a predicate. …pp 74,75

Mi a baj a naiv fizikalizmussal?

37. filozófiai talányok

Korábban ígértem, hogy visszatérek ehhez a kérdéshez. Mindenekelőtt rögzítsük, hogy mi is az a tézis, amit vitatok. Tegyük fel, hogy tudjuk, mit jelent fizikai tárgynak lenni, mik a fizikai tárgyak. Hasonlóképpen azt is tudjuk, mit jelent fizikai eseménynek lenni, mik a fizikai események. Utóbbi két kijelentés szétválasztja az objektumokat, fizikai tárgyakat és az eseményeket, fizikai eseményeket. Tudatában vagyok annak, hogy ez a szétválasztás már önmagában is számos kérdést vet föl, most mégis azt javaslom, hogy ezen emelkedjünk felül és most ne foglalkozzunk az eseményekkel, csak a téridőben folyamatosan létező dolgokkal, objektumokkal, pontosabban fizikai tárgyakkal. Tehát olyan dolgokra gondolok, melyek térben és időben folyamatosan léteznek. Ezek alapján – tehát az események univerzumát most kihagyva – a naiv fizikalizmus tézise, amit elemezni fogok, így szól:

(1) Minden fizikai tárgy.

Ennek valamivel bőbeszédűbb megfogalmazása ez lenne:

(1’)Minden dolog fizikai tárgy.

Vagy még terjengősebb megfogalmazásban:

(1’’) A világon minden dolog fizikai tárgy.

Utóbbi arra utal, hogy a mesék, mítoszok világában, vagy az álmok világában létezhetnek extra fizikai dolgok, de a valóságban, azaz a világon nem, ott csak és kizárólag fizikai tárgyak vannak. Ezt nem úgy értendő, hogy mindennek ami létezik fizikai természete is van, hanem úgy, hogy nincs másfajta természete, csak és kizárólag fizikai. Nincsenek pl. számok, azok csak egy képes beszéd szófordulatai, számok valójában nem léteznek. Ami mellet érvelni szeretnék az éppen az, hogy ez a ’valójában’ szófordulat félrevezető, megtévesztő, és gondokat okoz. 

Aki középiskolát végzett annak számára belátható, hogy 1=sin(π/2) és az is, hogy 0 < cos(0). Ezeknek az iskolában tanult formuláknak az igazságát, vagy helyességégét, egyszerű geometriai ábrákkal szokták elmagyarázni.  Az ábrák jelentést kölcsönöznek a formuláknak, és megindokolják elfogadásukat. Olyan nyilvánvalóságokat hogy 1=1, vagy 0 < 1, még ezen az iskolás szinten sem szokás tárgyalni, annyira egyszerű és nyilvánvaló igazságok ezek. Ha ezeket nem értené valaki, vagy komolyan kételkedne az igazságukban, annak kétségbe vonnák a normális elme állapotát. Filozófusként, most mégis ezt tesszük. Hogyan is állunk azzal mondattal, hogy 1=1?

Aki érti az ’azonos’ szó fogalmát és tisztában van a Vénusz égitest két másik nevével, annak számára nyilvánvaló igazság, hogy az esti csillag = hajnal csillag. Azért igaz ez, mert az ’esti csillag’ és a ’hajnal csillag’ nevek egyazon dolgot neveznek meg. Mi a helyzet azonban az 1 = 1-el mondattal? Ha fizikalisták vagyunk, és hiszünk a fenti (1) tételben, akkor ezt elutasítjuk, mivel nem hiszünk a számok létezésében, olyan dolgokéban, melyet az ’1’ jel megnevez. Fizikalistaként szerintünk csak fizikai tárgyak vannak, márpedig jól látható, hogy valami van az ’=’ jel bal oldalán, és valami van a jobb oldalán, de ami két különböző helyen van, az nem lehet egymással azonos, lásd a Vénusz két megnevezését. Valójában fizikalistaként nem csak a számok létét, de a jelek létét is tagadjuk, hiszen a jelek is absztrakt objektumok, nem pedig fizikai tárgyak. Az azonosság jel két oldalán az iménti példában két különböző jelpéldány van, és nem egyazon jel két előfordulása. Fizikalistaként csak azt fogadjuk el, hogy az azonosság jel valójában egyformaságot vagy hasonlóságot állít, és nem az azonosság jel két oldalán lévő fizikai tárgyak, azaz jelpéldányok azonosságát. Eddig rendben is volnánk.

Mi a helyzet azzal a mondattal, hogy 0 < cos(0)  azaz 0 < 1? Hogyan értsük azt, hogy a  ’0 < cos(0)’ mondat matematikailag egyenértékű, azaz felcserélhető a ’0 < 1’ mondattal? És egyáltalán, fizikalistaként hogyan értendő a ’0 < 1’ mondat? Talán arra gondolunk, hogy a ’0’ jelpéldány kisebb mint az ’1’ jelpéldány? Milyen értelemben? Hiszen a magasságuk egyforma, az általuk elfoglalt helyre pedig nem igaz az állítás, hiszen látható, hogy a ’0’ fizikai tárgy nem foglal el kevesebb helyet, mint az ’1’ fizikai tárgy. A fő baj azonban a fizikalizmussal teljesen általános természetű. Arról van szó, hogy bár a nyelv használata jelpéldányok használatát jelenti a térben és időben, maga a nyelv azonban jel atomokból és nem jelpéldány atomokból áll. Valóban jelpéldányokat használunk, de ezeket jeleknek tekintjük és nem egyszerű fizikai tárgyaknak, melyek csak és kizárólag önmaguk előfordulásaival azonosak.

Tényszerűen nem igaz, hogy az elemi iskolában tanult számtan értelmetlen jelsorozatok bemagolásából áll. Tényszerűen nem igaz, hogy az aritmetikai állítások jelentés nélküliek – E. Szabó László felfogásából ez következik. A naiv fizikalista nem mond igazat, amikor azt állítja, hogy nem hisz a számok létezésében. A naiv fizikalista akkor sem mond igazat, amikor jelek helyett jelpéldányokról beszél, és kétségbe vonja a jelek és a nyelv, mint absztrakt létezők létét. Ezeket ő is használja, ha igaza volna, nem tudna beszélni sem számolni.

Amit a fizikalizmus állít, az csak akkor értelmes, ha nem vonatkozik önmagára, máskülönben a beszéd puszta jelentésnélküli zaj, az írás meg értelmetlen alakzatok sorozata. (Hasonló igaz az okság és a természeti törvény fogalmára is. Ha gépek vagyunk, akkor az igazság fogalma elenyészik. Ezt pl. Thomas Nagel is jól látta az Utolsó szó c. könyvében.)  Amit a fizikalizmus mondani akar, az a világon belülről nem állítható, belülről csak puszta hangzavar. A fizikalizmus csak a világon kívülről fogalmazható meg értelmesen, amikor feltételezzük, hogy belülről nézve gondolkodó, szabad lények vagyunk, aki gondolataikat nyelv segítségével fejezik ki.

Russell paradoxon szögekkel és spárgákkal

36. paradoxonok

Bertrand Russell a XX. Század elején megcáfolta azt a feltevést, hogy minden α tulajdonságra van olyan halmaz amelynek azok és csak azok az elemei, melyekre igaz α tulajdonság. A bizonyítás­hoz felhasználta az „önmagának eleme” tulajdonságot. Hogy jól megértsük a feltevést és a bizonyítás lényegét, bemutatok egy szemléletes példát. Az érthetőség kedvéért a bizonyítást, a lényeget nem érintő mértékben, módosítottam. A példával amellett kívánok érvelni, hogy filozófiai szempontból én miért a „részhalmaz axióma” alapján kidolgozott megoldást tartom meggyőzőnek az ellentmondás elhárítására, bár tudom más megoldások is vannak. A másik hasonlóan fontos célom az, hogy megmutassam a részhalmaz axióma tartalmazza Tarski igazság koncepcióját.[i]

             A halmazok a magyarázatok céljától függően többféle módon is ábrázolhatók. Egy ilyen ábrázolás minden esetben szükségszerűen töredékes, mivel a halmazelmélet axiomatikus felépítésében, ha csak az üres halmaz létét feltételezzük, már abból is végtelen sok egyéb halmaz léte következik. Ennek ellenére szemléletességük folytán hasznosak a halmazok geometriai alakzatokkal való ábrázolásai, mint egy elképzelt végtelen rendszer töredékes megjelenítései. Néhány egyszerű halmazelméleti állítás jól illusztrálható körökkel  – Venn diagramokkal – vagy más síkidomokkal, de ilyen módon nem ábrázolható, hogy egy halmaz eleme önmagának. Ezért egy más megoldást választok, olyat, amelyik jól illusztrálja a probléma természetét. Képzeljük el a hazai klubok klubját. Ha a klubokat egy-egy betűvel jelenítjük meg a szövegben, akkor tekinthetjük a klubok klubját olyan halmaznak, amelynek elemei a klubokat jelképező betűk, és még a klubok klubját jelképező betű is az eleme a halmaznak, azaz önmagának. Ez a halmaz állóképet mutat a klubokról, nem képes ábrázolni, hogy egy klub, vagy akár maga a klubok klubja megszűnik. De ahogy a fényképek is hasznosak a mozgó filmek mellett, úgy ez az egyszerű ábrázolás is hasznos abból a célból, hogy rávilágít, nem merő abszurditás föltételezni, hogy egy halmaz eleme saját magának. Az ábrázolásban képzeletben még tovább megyek. A halmazokat és elemeiket szögekkel, halmazok és elemeik között fennálló „eleme” relációt pedig irányított spárgákkal jelenítem meg. Az összekötéseknek meg van jelölve az eleje és vége. Az írott szövegben nyilakkal ábrázolom az összekötéseket, és betűkkel a szögeket.

            Az eredeti paradoxon levezethető egy axiómából, a mostani magyarázatban azonban ennek helyén, ennek a céljára nem állítás, hanem egy feladat szerepel. Világítsa meg ezt egy egyszerű példa. Az egész számok halmazán legyen a páros számok definíciója a következő:

Egy egész szám akkor és csak akkor páros, ha maradék nélkül osztható kettővel.

 Ebben a meghatározásban egy feltételt adunk meg, és ha a feltétel teljesül, akkor a szám páros, ha nem teljesül, akkor nem páros. A definíció kettéosztja a egész számok halmazát párosokra és nem párosokra, és miden egész szám beletartozik a két halmaz közül az egyikbe, de csak az egyikbe. Ha vizsgálódásunkat az egész számokon belül véges sok számra korlátozzuk, akkor ezt a szétválasztást egy feladattal is végrehajthatjuk. Vesszük egyenként a megvizsgálandó számokat, mindegyiket elosztjuk kettővel, és ha van maradék az egyik, ha nincs a másik halmazba helyezzük. Ilyen módon megfeleltettünk a „páros szám” fogalma definíciójának egy szabályt, egy utasítást, amely a definícióval ekvivalens módon fölosztást ad az egész számok bármely véges halmazán.

            A ellentmondásra vezető feltevésnek ennek analógiájára egy feladatot fogok megfogalmazni. Miután megvizsgáltuk a feladatot, fordítva fogok eljárni: a feladatot fogom visszafordítani egy axiómára és nem fordítva, mint a „páros szám” esetén tettem. Látni fogjuk, hogy mi a különbség egy ellentmondásos feltételt tartalmazó feladat és egy paradox feladat között. Lássuk ezek után a példát!

            Az első emeleten egy szobában vas szögek vannak kalapálva a padlóba. Néhány szög össze van kötve egymással vagy önmagával az alábbi módon:

rpx_1.gif

Mint látható két szög között egy irányban legfeljebb egy össze­kötés van, és némelyik szögön van hurok, másikon pedig nincs. A feladat a következő: Kezünkbe adnak egy ezüst és egy réz szöget azzal a feladattal, hogy az előbbit kössük össze az összes olyan a szobában lévő szög­gel amelyiken nincs hurok, de kiindul belőle spárga, míg az utóbbit az összes olyan szintén a szobában lévő szöggel, amin van hurok, és kiindul belőle spárga. Az új összekötéseknek mindig a réz vagy ezüst szögekből indulhatnak ki. A feladattal akkor vagyunk készen, ha elkészítettük az egyetlen helyes megoldást.

Ismét lerajzoltam az első emeletet, de most már az új szögekkel együtt. Oldjuk meg a feladatot, húzzuk be ceruzával a szükséges összekötéseket![ii]  
rpx_2_hu.gif

Az ezüst szöget nem kell össze kötni a ’d, e, g’ nevű szögekkel, mert nem indul ki belőlük zsineg, és nem kell összekötni az ’a, c, f’ szögekkel, mert hurok van rajtuk. Viszont a ’b, h’. szögekkel össze kell kötni, mert azokon nincs hurok, de kiindul belőlük spárga. Könnyen belátható, hogy a réz szög esetén két megoldás is van. Ez is baj, hisz most nem tudjuk, hogy melyiket válasszuk.

A korábban említetteknek megfelelően a szögeket halmazok vagy elemeik, a spárgákat pedig az „eleme” reláció ábrázolásának tekintve a feladatnak megfelelő formulák következők.

(1)        Minden x-re:  xÎezüst º ( xÎU & $y.yÎx & xÏx )

(2)        Minden x-re:  xÎréz º ( xÎU & $y.yÎx & xÎx )

A formulákból ki lehet következtetni a megoldást.  Ha az ezüst szöget a szobában kalapáljuk a padlóba, akkor az ennek megfelelő (3) formula így fest:

(3)        ezüstÎU

(3) alapján (1)-ből és abból a tényből, hogy bÎezüst ez következik:

(4)        ezüstÎezüst º ( ezüstÎU & ezüstÏezüst)

Viszont (4)-ből  az következik, hogy

(5)        ezüstÎU É (ezüstÎezüst º ezüstÏezüst)

Mivel az, hogy ’ezüstÎezüst º ezüstÏezüst’ logikai hamisság (ellentmondás), ezért a kondicionális előtagjának tagadására kell következtessünk, azaz arra, hogy ezüstÏU, tehát az ezüst szög nem lehet a szobában. (Zermelo szerint az új szögek az első szinten is lehetnek csak a szobán kívül kell legyenek, viszont Russell szerint magát a feladatot is újra kell fogalmazni úgy, hogy mindig csak egy emelettel följebb lévő szögekből vezethetnek zsinegek az alattuk lévő szögekhez.) A feladat megoldásá­nak kulcsa tehát az a kérdés, hogy hova kalapáljuk a réz és ezüst szöget? Ha az U szobán belül, akkor a feladat megoldhatatlan az ezüst szögre, és nem egyértelmű a réz szögre, ha viszont a két új szöget a szobán kívül helyezzük el, a feladat megoldható mindkét új szög esetén. Ha most az új a halmazt – amit esetünkben az ezüst vagy réz szög jelölt – egy általános H halmazzal, a szobát U halmazzal, a ’nem eleme önmagának’ feltételt pedig egy általánosabb F(x) formulával helyettesítjük, amelyik az elsőrendű logika valamely egyargumentumú nyitott mondata, akkor másodrendű logikai nyelvet használva megkapjuk a részhalmaz axiómát:

"F"U$H"x (xÎH º ( xÎU & F(x)))[iii]

  Most, hogy találtunk egy megoldást, érdemes végiggondolni más kivezető utakat is. Több is van, és ezek közül némelyik nem alkalmazható a halmazokra, csak a fenti szögeket tartalmazó példára. Lássuk hát az alternatív javaslatokat!

 1: Kössük ki, hogy listával, felsorolással kell megadni a réz és ezüst szögek összekötéseit. Ez a megoldás csak véges sok elem esetén használható. Miért nem fordulhat elő ebben az esetben soha, hogy nem tudjuk megoldani a feladatot?        Egyszerűsítsük le a feladatot amennyire csak lehet, legyen csak egyetlen szögünk, az ezüst szög, A kiinduló helyzetben ne legyen az ezüst szögön hurok. Legyen az a feladat, hogy kössük össze az ezüst szöget önmagával, ha nincs rajta hurok. Akkor vagyunk készen a feladattal, ha a végeredmény megfelel a feltételnek. Nagyon fontos az utóbbi megkötés. Ezen megkötés nélkül egy gép megvizsgálná az ezüst szöget, látná, hogy nincs rajta hurok, ezt a tényt összevetné a feltétellel, majd kikövetkeztetné, hogy hurkot kell kötni a szögre, rákötné a hurkot az ezüst szögre, és befejezné a feladat végrehajtását. A gép ugyanis teljesen mechanikusan gondolkozik. Csak nekünk embereknek ütne szöget a fejünkbe, hogy a feladat végrehajtásának eredményében valami hiba van. Egy gép ezt nem így értelmezi. Sorra veszi egyenként a feladat elemeit, végrehajtja azt ami a feltételből következik, és a következő objektumra lép, vagy befejezi a feladat végrehajtását. Ha azt akarjuk, hogy működése megfeleljen a józan észnek, akkor külön ki kell kössük, hogy minden egyes lépést ellenőrizzen, és ha hibát talál kezdje újra. Ekkor a gép, amikor az ezüst szöghöz ér végtelen ciklusba fog kerülni, és soha nem lesz képez befejezni a feladatot. Most visszatérhetünk annak a megfontolására, hogy miért nem fordulhat ez elő, ha listával vannak megadva a feltételek? A lista esetén nem kell az objektumok tulajdonságát vizsgálni, csak az azonosításukra van szükség. Az objektumok tulajdonságait hiába módosítaná esetleg a feladat végrehajtása, az nem befolyásolhatja a feladat lefutását, mert nincs hatással az előre megadott listára. Amikor viszont az objektumok tulajdonságaitól függ a feladat végrehajtásának minden egyes lépése, akkor baj származhat abból, ha a feladat végrehajtása közben az egyes lépések a saját feltételeikre is befolyással vannak. Nem okoz ez minden esetben megoldhatatlan feladatot, de okozhat. Amikor az imént lecsupaszítottuk a feladatot egyetlen szögre, akkor pontosan ez okozta a bajt. A szög azon tulajdonsága, ami meghatározta, hogy mit kell tenni, az ellentétére változott a végrehajtás során. Ezért ha az is követelmény, hogy a végrehajtás eredménye is feleljen meg a feltételnek, akkor a feladat megoldhatatlan.

A paradox helyzet elkerülésének elegendő feltétele, hogy kikötjük, a szabály (a feladat) szempontjából világosan el kell különíteni a kiinduló feltételeket az eredménytől. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a feladat, a szabály nem lehet befolyással a kiinduló állapotra. Ez a megkötés nem minden esetben szükséges. Vegyük ismét a leegyszerűsített feladatot! Legyen adott az ezüst szög, amin nincs hurok. A feladat az, hogy kössünk rá hurkot akkor és csak akkor, ha van rajta hurok. A feladat végrehajtható.  Ha most nem kötünk hurkot az ezüst szögre, az megfelel a kikötésnek és a feladatot sikeresen befejeztük. Viszont hogyan értékeljünk egy olyan megoldást, ha valaki úgy oldaná meg ezt a feladatot, hogy mégis hurkot köt az ezüst szögre?

A két utóbbi példa ismét azt mutatja, hogy gondot okozhat egy feladat önmagára visszaható jellege. Mindazonáltal, számos olyan alkalmazás van, amikor egy automata kiindul egy kezdeti állapotból, végrehajtja az utasítást, majd az eredményt behelyettesíti a kezdeti állapotba, és újra kezdi. Egy ilyen folyamat sok esetben véges idő alatt befejeződik, ha nem is mindig. (Amikor nem fejeződik be, akkor is lehet hasznos, ha egy meghatározott eredmény felé tart.) Bizonyos esetekben csak látszólag az a helyzet, hogy egy feladat végrehajtása önmagára is visszahat. Pl.: A magyar nyelv nyelvtani szabályai kétségtelenül befolyással vannak azokra a magyar mondatokra, amelyeken a nyelvtani szabályokat megfogalmazták. Viszont ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy magukra a szabályokra is befolyással volnának, hiszen rossz nyelvtannal és rossz helyesírással is meg lehet fogalmazni jó nyelvtani szabályokat, sőt akár más nyelven is meg lehet fogalmazni a magyar nyelvtan szabályait.

 2: Készítsünk fényképfelvételt a szoba kezdeti állapotáról, és különböztessük ezt meg az eredménynek megfelelő állapottól.  Ez a megoldás azért nem alkalmazható, mert a halmazok és elemeik közötti reláció független az időtől, nem az időben létezik.

 3: Kössük ki, hogy az új szögekre soha nem kerül hurok. Az ennek megfelelő halmazelméleti feltevés így fest:  "F$y"x (yÏy & (x¹y É (F(x) º xÎy)))

 Azonban Quine kimutatta, hogy ez a feltevés ellentmondásra vezet.[iv]

A feladatok, utasítások nyelve magában foglalja az állítások nyelvét. Utóbbi természete ebben az összefüggésben világosan megmutatkozik. Amiképp a fogalmak jelentése a mondatok összefüggésében, akképpen a kijelentések jelentése a tőlük függő utasítások összefüggésében nyilvánul meg. Tegyük fel, hogy az utasítások lépéssorozatában a következő elágazó utasítás feltétele egy p tényállást leíró kijelentés.  Az egyik irányban folytatódik az utasítások sorozata ha p igaz, a másik irányban ha hamis, és megáll, tovább várakozik az utasítások végrehajtása , ha p nem értelmezhető. Hasonló a helyzet, ha nem tényállításról, hanem analitikus igazságról van szó. Ha egy utasítás végrehajtásának logikai ellentmondás a feltétele, akkor soha nem hajtjuk végre azt, ha logikai igazság, akkor minden körülmények között, feltétel nélkül végrehajtjuk, ha viszont paradoxon, akkor megállunk, nem tudjuk mit kell tennünk, elakadunk a feladat folytatásában, mert nem tudunk egyértelmű – időtlen – igazságértéket rendelni a feltételhez. A Russell által felfedezett ellentmondás esetén tudjuk mit kell tennünk, az előfeltevés tagadására kell következtessünk, arra, hogy nem igaz, hogy minden α tulajdonságra van olyan halmaz amelynek azok és csak azok az elemei, melyekre igaz α tulajdonság. Hasonlóképpen bizonyítható az is, hogy a halmazelmélet bizonyos axiomatikus fölépítéseiben nincs olyan halmaz, aminek bármely dolog az eleme, más szakavakkal, a halmazelmélet egy ilyen fölépítésében az univerzum nem halmaz. Nem öncél tehát az ellentmondások keresése, hanem arról való gondolkozás, hogy mi van.

A részhalmaz axióma alkalmazási körét kiterjesztve, ami mostani problémánk megoldásának a kulcsa, látható a kapcsolat a ’hazug’ és a Russell paradoxon között.

Legyen L1 egy a klasszikus elsőrendű logikával kompatibilis nyelv. Legyenek P,Q halmazok L1 nyelv mondat neveinek halmazai, és ρ egy olyan bijektív függvény, amely tetszőleges s mondat névhez magát a mondatot rendeli. A mondatok nevei legyenek egész-szám jelek, tehát P,Q elemei egész-szám jelek, Q elemei pozitív páratlan számjelek. Az L1 nyelv leírására szolgáló szemantikai predikátumok nem részei L1 nyelvnek, hanem egy nála gazdagabb L2 nyelvnek ­ melyet éppen most olvas­, melyet L1-hez képest 'metanyelv'-nek nevezek. L2 része a közlési nyelnek. Az alábbi levezetés L2 nyelven íródott, és a formulák mellé magyarázatokat írtam a közlési nyelven. Tehát az a mondat, hogy  »A „hazug” típusú mondat nem lehet eleme semelyik P1-nek, azaz nem lehet igaz vagy hamis mondata L1 nyelvnek.« nem része a tárgynyelvnek, így nem forrása újabb ellentmondásnak (paradoxonnak).

(T*)"ρ"P$Q"s (sÎQ º (sÎP & ρ(s)))          Ez a részhalmaz axióma sajátos felfogásban. P szándékolt jelentése az igaz vagy hamis mondat nevek, Q jelentése pedig az igaz mondat nevek halmaza.      

(2) "P$Q"s (sÎQ º (sÎP & f(s)))                 (T*)    

ρ egy értéke olyan f függvény, melynek értéke 7 argumentumra az „7ÏI2” mondat. 7 a 'hazug' mondat egy reprezentánsa. 

(3) $Q"s (sÎQ º (sÎP1 & f(s)))        P egy értéke P1

(4) "s (sÎI1º (sÎP1 & f(s) )) Feltesszük, hogy I1 egy ilyen halmaz. 

(5) 7ÎI1º (7ÎP1 & 7ÏI2)       ahol f(7)º7ÏI2

(6) 7ÎP1É (7ÎI1º 7ÏI2)       (5)

Ha feltesszük, hogy 7ÎP1 – azaz a 'hazug' igaz vagy ’hamis’ mondat, olyan mondat amelyik előfordulhat igazságfüggvények argumentumában – és nincsenek nyelvi szintek és ezért egyetlen igazság van – tehát  I1=I2  – akkor ellentmondásra jutunk. Mivel P1 tetszőleges volt, ezért a „hazug” típusú mondat nem lehet eleme semelyik P1-nek, azaz nem lehet igaz vagy hamis mondata L1 nyelvnek.[v] Nincs tehát olyan mondat amelyik megfelel a hazug struktúrájának és a propozíciót kifejező mondatok osztályába tartozik. Az antinómia a hazug esetén is és a Russell paradoxon esetén is arról dönt, hogy mi van.

A poszt szövege innen letölthető.

jegyzetek:

[i] Cikkem első változatát 1985-ban írtam. Ez egy 2008-as verzió. Felhasználtam a Catherine Z. Elgin-től 1990-ban kapott kritikai megjegyzéseket. 

[ii] Az ábrán a szögeket jelképező betűk egy síkidomon belül helyezkednek el. A síkidom jelen esetben egy téglalap melynek a neve U. Ez a téglalap egy halmazt, a benne lévő betűk a halmaz elemeit ábrázolják, ám ez az ábrázolás kifogásolható, mert eddig nyilakkal ábrázoltam a halmazhoz való tartozást. Ettől most ezért tértem el, mert így szemléletesebb és jobban érthető. Ha következetes maradtam volna, akkor az 'U' betűből kiinduló nyilakkal ábrázoltam volna most is az eleme relációt és nem egy geometriai viszonnyal.

[iii] A ZF halmazelméletben mint axióma séma szerepel a részhalmaz axióma, és a regularitási (jólfundáltsági) axióma következtében nincsenek benne önmagukat tartalmazó halmazok.

[iv] Quine, Ferege’s way out. in Mind, April 1955, p.145-159 Quine tanulmányára annak idején Ruzsa Imre hívta föl a figyelmemet.

[v] V.ö. Ruzsa Imre szerkesztői kommentárját in: Alfred Tarski, Bizonyítás és igazság. Gondolat. Bp. 1990. p.77. Olvasva Quine "Truth and Disquotation" c. írását 2018-ban, ezt a részt jelenleg hibásnak, pontatlannak tartom. Tarski elmélete nem pontosan ez.

Megjegyzés Tarski igazság koncepciója állítólagos korlátairól

35. paradoxonok

Előhang

1977. október 25-én beküldtem egy pár oldalas írást a Magyar Filozófiai Szemlének, amelyik a hazug paradoxont tárgyalta új megközelítésben. Azt állította, hogy a paradoxon logikai szerkezete hasonlít az egyszerű villanycsengő működéséhez. A csengő karja akkor van meghúzva, ha előtte nem volt, és fordítva, ha nincs meghúzva, akkor a következő időpontban egyet kondul a csengő. Meglepő módon Kéri Elemér professzornak tetszett az ötletem, de azt javasolta, hogy egészítsem ki a probléma történetének bemutatásával és magyarázzam el jobban, akkor leközlik. Engem azonban kevéssé érdekelt a probléma története, és sajnos nem tudok – azóta sem tudok – jól magyarázni, olyanoknak beszélek érthetően, akik maguk is hasonlókat gondoltak. Írásomat megmutattam Ruzsa Imre professzornak is, aki figyelmesen elolvasta, de tévesnek, alapvetően elhibázottnak találta. Adott nekem egy mindössze egy oldalas tömör megjegyzést arról, hogy Tarski szellemében hogyan kellene helyesen kezelni az igazsággal kapcsolatos filozófiai-logikai problémákat. Megéreztem, hogy valamit nem értek kellő mélyen, és ezért egy ideig nem foglalkoztam tovább a problémával. De hiába olvastam el úja és újra Ruzsa megjegyzését, nem értettem. Pontosabban minden szavát értettem, csak a lényeget nem. Azóta számos felületes, sőt alapvetően elhibázott vagy egyenesen hajmeresztő értelmezését olvastam Tarski igazság elméletének, még jelentős, neves filozófusok részéről is. Csaknem húsz év múlva értettem meg a Tarski féle igazság felfogás logikai-filozófiai lényegét, és most már értem egykori tanárom megjegyzését, látom, hogy igaza volt. Ugyanakkor az évek során a probléma nem hagyott nyugodni, újra és újra megfogalmaztam az ötletemet, mindig egy kicsit másképp. Több írásom is tárgyalta a szemantikai paradoxonokat, olyan is volt, ami megjelent. Most újra nekifutok.

I. A probléma bemutatása

Saul Kripke említi nagy hatású tanulmányában a következő tanulságos ellenpéldát.[i] Hogyan értékeljük az igazságérték szempontjából az alábbi megnyilatkozásokat, ahol Jones (c2) és (c6) mondatot, Nixon pedig a (c3), (c4) és (c5) mondatokat állította:

Jones ezeket mondta:

(c2) Nixon Watergate-ügyről tett nyilatkozatainak többsége (több mint a fele) hamis.

Ezen kívül Jones a ’mondat6’ mondatot mondta, melynek neve (c6), igazságértéke b6.

Nixon ezeket mondta:

(c3) Jones minden Watergate-ügyről tett állítása igaz.

Ezen kívül Nixon a ’mondat4’ és ’mondat5’ mondatokat állította, ezek nevei rendre (c4) és (c5), igazságértékei b4 és b5. A három független mondat (mondat4, 5 és 6) sem direkt sem közvetve nem vonatkozik a történet szereplői mondataira, azaz nem utal sem (c2)-re sem (c3) ra.

Tekintsük rögzítettnek, hogy melyik mondatot mondta Jones és melyiket Nixon. Így az is rögzített, hogy Nixon állította a ‘mondat4’ és ‘mondat5’ mondatokat, míg a ‘mondat6’ mondatot Jones mondta. Táblázattal így ábrázolhatjuk, hogy melyik mondatot ki mondta:

Mondat-személy reláció

Jones

Nixon

(c2) Nixon Watergate-ügyről tett nyilatkozatainak többsége (több mint a fele) hamis.

d2=1

e2=0

(c3) Jones minden Watergate-ügyről tett állítása igaz.

d3=0

e3=1

(c4) mondat4

d4=0

e4=1

(c5) mondat5

d5=0

e5=1

(c6) mondat6

d6=1

e6=0

táblázat 1

II. Az értékelés alapgondolata

A (c4), (c5) és (c6) mondatoknak az értékelése független tény, nem függ sem Jones, sem Nixon semelyik mondatától. Figyeljük meg, mind (c2) mind (c3) mondat használja az ’igaz’ vagy a ’hamis’ predikátumot, és mindkét mondat igazságértéke valamilyen módon a másik igazságértékétől is függ. Ezek alapján a (c2) és (c3) mondatok igazságértéke csak és kizárólag a ’mondat4, mondat5 és mondat6’ mondatok igazságértékétől, illetve a (c2) és (c3) mondat kölcsönösen egymásra való hivatkozásától függ. A mondatok közül azonban kizárólag a ’mondat4, mondat5 és mondat6’ állításokat értékelhetjük szabadon, a (c2) és (c3) mondatokat nem. A (c2) és (c3) mondatok igazságértéke valahogy következik a mások három értékeléséből, bár még nincsen módszerünk annak pontos meghatározására. Annyi belátható, hogy (c4), (c5) és (c6) mondatok igazságértékei határozzák meg, hogy van-e, és mi az igazságértéke Jones (c2) és Nixon (c3) mondatának. Ez összesen nyolc variációt jelent, a következőkben valamennyi esetet megvizsgáljuk. A kérdés az, hogy milyen nyelven és milyen eszközökkel tehetjük meg ezt? Hogyan tudjuk Jones (c2) és Nixon (c3) mondata igazságértékét meghatározni? Vizsgáljuk ezt meg közelebbről.

Nixon szerint Jones minden mondata igaz. Mivel Jonesnak összesen két mondata van, ezért Nixon az alábbit állítja: Jones minden Watergate-ügyről tett állítása igaz pontosan akkor, ha Nixon Watergate-ügyről tett nyilatkozatainak többsége (több mint a fele) hamis és ’mondat6’ igaz. A jelölések fölhasználásával jobban látjuk a logikai kapcsolatokat.

Nixon:  (c3)-igaz pontosan akkor ha (c2)-igaz és (c6)-igaz

Jones komplikáltabb állítást tett Nixon mondatairól. Szerinte Nixon mondatainak többsége hamis. Nixon három mondatot mondott. Csak úgy lehet ezek többsége hamis, ha legfeljebb egyetlen igaz a háromból. De mi van akkor, ha nem csak a többsége, hanem Nixon valamennyi állítása hamis? Mi a helyzet, ha Jones (c6) mondata is hamis? Milyen módon lehet valamennyi lehetőséget kiszámítani? Milyen nyelven lehet a feladatot úgy megfogalmazni, hogy könnyen számba vehessük az összes eshetőséget? Az alábbi táblázat összefoglalja az eddigieket és bemutatja a következőkben alkalmazott mondat értékeléseket. A táblázat jobb oldali oszlopában e2 X b2 =1 ha b2 igaz és Jones állította c2 mondatot, e3 X b3 = 1 ha b3 igaz, és Jones állította c3 mondatot, stb.; a második sorban b3 = 1, pontosan akkor, ha a Jones által állított valamennyi mondat igaz. Nixon mondatainak száma e9.

Mondat

Értékelés

(c2) Nixon Watergate-ügyről tett nyilatkozatainak többsége (több mint a fele) hamis.

b2= Ha((0,5>(e2 X b2+e3 X b3+e4 X b4+e5 X b5+e6 X b6)/e9);akkor b2=1;más esetben b2=0)

(c3) Jones minden Watergate-ügyről tett állítása igaz.

b3= (Ha d6=1; akkor b6; más esetben 1) X (Ha d5=1; akkor b5; más esetben 1) X (Ha d4=1; akkor b4; más esetben 1) X (Ha d3=1; akkor b3; más esetben 1) X (Ha d2=1; akkor b2; más esetben 1)

(c4) mondat4

b4=0 vagy 1

(c5) mondat5

b5=0 vagy 1

(c6) mondat6

b6=0 vagy 1

táblázat 2

III. A klasszikus felfogás korlátai

Alfred Tarski alapvető belátásait követve, nincsen vezérfonalunk abban az irányban, hogy a Jones által használt igazság fogalmat helyezzük el az első metanyelvi szinten, és a Nixon által használt igazság fogalmat eggyel feljebb, egy második metanyelvi szinten, vagy éppen fordítva. Az ugyanis nyilvánvaló, hogy mivel mindkét igazságfogalom terjedelmébe beletartozik a másik igazság predikátum egy alkalmazása, a két metanyelvi igazság predikátum nem lehet egyazon metanyelvi szinten. Ezt méltán hangsúlyozza Kripke ama nevezetes tanulmányában. A Tarksi által megrendszabályozott formális nyelven a fenti érvelés, a nyelv keretei között, annak részeként, valamilyen Tarskiánus igazságfogalmat alkalmazva meg sem fogalmazható. Ebben is igaza van Kripkének. (Az más kérdés, hogy ez a korlátja a klasszikus felfogásnak erény-e vagy hiba? Szerintem erény.) Abban viszont sem Kripkének, sem másoknak, akik alternatív igazság koncepciót dolgoztak ki, nincsen igaza, hogy a szokásos Tarskiánus logika felfogásában maga a jelenség, ahogy a szemantikai paradoxonok megjelennek, ne lenne leírható. Ebben az esetben a paradoxont jelenségként, egyfajta esemény sorozatként fogjuk fel, és nem pedig egy helyesnek tekintett logikai nyelv keretei között megfogalmazott érvelésként.  A következőkben több féle modellt is bemutatok, ahol a modellek viselkedése szimulálja azt a jelenséget, amikor szemantikai paradoxonokba ütközünk. Tehát nem egy újabb formális nyelvet konstruálok, hanem modelleket, melyekkel metanyelvi szinten, szemantikai értékelő függvényeket alkalmazva, de a klasszikus logika keretei között maradva írom le a jelenséget. A modellek szimulálják a szemantikai jelenséget. A modellek nem az ’igaz’ és ’hamis’ szavakat használják, hanem az ezeknek megfelelő ’1’ és ’0’ jelsorozatokat. Némelyik esetben az ’1’ és ’0’ számjelek puszta karakterek, más esetben számokat jelentenek. Utóbbi eset akkor ár fenn, amikor aritmetikai függvényekkel kapcsolatban használom azokat.

IV. Aritmetikai transzformáció

Tetszőleges s mondat igazságértékét |s| jelöli. A ζ függvény az igazságértékekhez számokat rendel, az hamishoz a nullát, az igazhoz az egyet.

(4.1) c2 pontosan akkor ha 0,5 > (ζ|c3| + ζ|c4| + ζ|c5|) /3

(4.2) c3 pontosan akkor ha c2 és c6

(4.3) c2 pontosan akkor ha 0,5 > (ζ|c2| X ζ |c6| + ζ|c4| + ζ|c5|) /3

Bevezetve a kézenfekvő definíciókat: b2:= ζ|c2|; b3:= ζ|c3|; b4:= ζ|c4|; b5:= ζ|c|; b6:= ζ|c6|; ezt kapjuk.

(4.4) b2 = ζ|0,5 > (b2 X b6 + b4 + b5) /3)|

Az egyenlet legegyszerűbben táblázatkezelő programok alkalmazásával oldható meg, melynek segítségével az alábbi igazságtáblázatot kapjuk. Emlékeztetünk arra, hogy b2 Jones mondta értéke, és b3 Nixon mondata értéke, ahol b2 ismeretében b3 könnyen kiszámolható: b3 = b2 X b6 Ahol nincsen megoldás – nincs fix pont – ottan a táblázatkezelő nem ad állandó értéket, hanem ingadozik a 0 és 1 értékek között.

mondat6

mondat5

mondat4

Jones mondata

Nixon mondata

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

Nincs fix pont

Nincs fix pont

1

1

0

Nincs fix pont

Nincs fix pont

1

1

1

0

0

táblázat 3

V. Véges automata modell

Az 1. ábra mutatja, hogy a mondatok összefüggéseit digitális áramkörök összefüggéseivel is szimulálhatjuk. Az ábra szerint az áramkörök kimeneti állapota önmagától is függ. A visszacsatolás az igazság értékek cirkularitását szimulálja. Az ilyen visszacsatolt áramköröket sorrendi hálózatoknak nevezik, mert működésük nem írható le egyszerűen a bemeneti jelek függvényeként. Leírásukra nem alkalmas az igazság függvények nyelve, más matematikai eszközre van szükségünk. 

jones-nixon.jpg

ábra 1

A korábbiak alapján elkészítjük a probléma Mealy féle véges automata szimulációját. Az automata kimenete Jones és Nixon mondata értéke, bemenete a többi mondat értéke. Az automatának két belső állapota van, melyek a mondatok értékelése szituációit szimulálják.

(5.1) kimenet = λ(bement, belső állapot)

(5.2) következő belső állapot = δ(bement, belső állapot)

(5.3) belső állapot (szituáció) = {0,1}

(5.4) bemenet = <b6, b5, b4> azaz a három mondat.

(5.5) kimenet = <b2, b3> azaz Jones és Nixon mondata

Az automata működését – a δ és λ függvényeket – a 4. és 5. táblázat határozza meg.

δ

0

1

λ

0

1

000

0

1

000

10

10

001

0

1

001

10

10

010

0

1

010

10

10

011

0

1

011

00

00

100

0

0

100

11

11

101

1

0

101

11

00

110

1

0

110

11

00

111

0

1

111

00

00

táblázat 4, 5

A véges automata modell a kibertérben működik is, és bármely bemenetre megadja a kimeneti értéket. Amelyik bemenetre nincsen megoldása a problémának, azaz ahol ellentmondásba keveredünk (nincs fix pont), ottan az automatának nincsen stabil (állandósult) állapota és felváltva ingadozik az 1 (igaz) és 0 (hamis) állapot között. Ilyen módon a hazug paradoxon többféle verziója is szimulálható véges automaták segítségével. A szemantikai értékek véges automata működéssel történő szimulálása azokban az esetekben alkalmazható, ahol a tárgyalási univerzum véges. A működő modellek innen letölthetőek:

<url=http://ferenc.andrasek.hu/models/kripke-s-counterexample.xls>

<url=http://ferenc.andrasek.hu/models/liar-models.xls>

A poszt szövege innen letölthető.

[i]“Most (i.e., a majority) of Nixon's assertions about Watergate are false. …Everything Jones says about Watergate is true.” Saul Kripke, "Outline of a Theory of Truth" (1975) The Journal of Philosophy, Vol. 72, No. 19, p. 691. Megtalálható a neten, de benne van a Robert L. Martin által szerkesztett "Recent Essays on Truth and the Liar Paradox" könyvben OUP 1984, pp. 53-81. Legújabb munkájában visszatér a kérdéshez: “Ungroundedness in Tarskian Languages”, Journal of Philosophical Logic, 2018 october 25, pp 1 -7. Tarski írásai "Bizonyítás és igazság" címmel jelentek meg 1990-ben. Jon Barwise és John Etchemendy "Liar" c. könyve szintén alapműve a témának.  Anil Gupta és Nuel Belnap "The Revision Theory of Truth" c. könyve sajátos felfogást mutat be. A klasszikus felfogással kapcsolatban érdemes elolvasni Quine The Ways of Paradox c. könyvét is.

A végtelen fogalmai – előadás sorozat az MTA könyvtárban

34. széljegyzet

2018. november 16-án, a délutáni részen, ott voltam a Tőzsér János által szervezett előadás sorozaton. Ezek voltak:

14.00. – 14.50. Székely László (MTA BTK) Miért nincs „végtelen” csupán „határtalan” a matematikában? Érvek Wittgenstein érvei mellett

14.50. – 15.40. Benedek András (MTA BTK) A folytonosság nem-sztenderd modelljei: paradoxonok vagy ellenpéldák?

16.00. – 16.50. E. Szabó László (ELTE) A végtelen idóluma

16.50. – 17.40. Huoranszki Ferenc (CEU) A meghatározhatatlan

Benedek és Szabó ismertetett gondolatait korábbról valamelyest ismertem, mivel ezek a neten föltalálhatóak, de az előadások mégis, több ponton, nekem újat mondtak. Ők ketten különösen, de a többiek is, miközben rutinos jó előadók, képtelek voltak túlcsorduló mondanivalójukat beszorítani a rendelkezésre álló véges időbe J   Számos érvük megértéséhez, megítéléséhez nekem – attól tartok nem csak nekem - jóval több időre lett volna szükségem.

Szabónak érdemes volna végig gondolnia két dolgot: 1. az ő ontológiája miben és miért tér el pl. Quine sok szempontból hasonló nézeteitől. Pl. Quine is fizikai létezőket, nevezetesen a megnyilatkozások bizonyos fajtáját tekinti az igazság hordozójának, nem a propozíciókat. 2. Carnap megvilágosító erőjű, alapvető belátását a létezési állítások két típusáról. A Szabó által prezentált szélsőséges fizikalizmus védhető álláspont volna, amennyiben külső létezési állításként mutatja be, de egy „lapos” ontológiaként fölfogva, belső állításként, abszurd elmélet – legalábbis szerintem.

Huoránszki gondolatmenetével egyetértettem, magam is hasonlókon vívódom.

Wittgenstein matematikával kapcsolatos gondolait valamelyest ismertem, Székely azonban jelentős részben a saját, Wittgensteinéval szimpatizáló – egyébként érdekes – véleményét mutatta be. Én egyáltalán nem értek egyet azzal a kritikával, amivel a végtelen Cantorhoz köthető szokásos interpretációit illette. Azt sem gondolom, hogy pl. Péter Rózsa híres, népszerű könyve butácska példákkal próbálná elmagyarázni, érthetővé tenni a végtelennel kapcsolatos matematikai problémákat.  De a fő problémám az volt a gondolatmenetével, hogy az általa újnak tekintett végetlen értelmezés, illetve az értelmezések egy családja, valójában egyáltalán nem új, hanem (szerintem) nagyon is régi, ősrégi, a végtelennek a „potenciális végtelen” fogalmán alapul. Azt azonban nem merném kétségbe vonni, hogy ez a régi megközelítés új köntösben föltámadhat, és hasznos lehet. Wittgenstein megjegyzése, hogy Cantor átlós érvelése egyszerűen nem bizonyítás, a levegőben lóg. Ha valahol vitatható ama híres „átlós” érv, akkor az a kizárt harmadik elvének alkalmazása, és az un. intuicionista logika - matematika épp ezen az úton indult el. Nincsen ezzel gond, ez egy alternatív fölfogás, jól megfér a másik mellett.

Mindegyik gondolatébresztő, jó előadás volt, köszönet érte.

Az idő filozófiája elé

33. filozófiai talányok

Terveim szerint valamelyik következő poszt rövid, tömör áttekintést fog adni a kortárs analitikus filozófiának az „idő” fogalmával kapcsolatos nézeteiről. Ezek előtt azonban egy rövid bevezetőben szeretném a józan ész metafizikája felől bemutatni a kérdéskört. Valamennyi épelméjű ember megérti az idővel kapcsolatos hétköznapi mondatokat. Ilyenekre gondolok:

(1) Tegnap este becsuktam a kiskaput.

(2) Most értünk a forráshoz.

(3) Messze jövendővel komolyan vess öszve jelenkort; (Kölcsey Ferenc: Huszt)

(4) Elhull a virág, eliramlik az élet. (Petőfi Sándor: Szeptember végén)

Vegyük sorra ezt a négy mondatot, vajon milyen filozófiai kérdéseket rejtenek magukban? 

(1) A kiskapuról szóló (1) mondat megértése nem igényel sem fizikai-matematikai, sem filozófiai ismereteket, most mégis ilyen módon fogjuk értelmezni. A kiskapu becsukását jelenítse meg egy k függvény, amelyik megadja, hogy egy időtartományban a kiskapu milyen szöget zárt be a kerítés síkjával. A tegnap estét jelölje t1 a ma estét jelölje t2. Tegyük fel, hogy ugyanúgy csuktam be a kiskaput tegnap este, mint ma este. Azt a mintát, ahogy becsuktam a kaput k függvény jelöli, a kapu tegnapi becsukását k(t1), a mai becsukását k(t2). A mai kapu-becsukás nem azonos a tegnapival, amit így fejezhetünk ki: k(t1) >< k(t2). Miért nem azonos, hanem csak egyforma, k(t1) és k(t2) esemény? Azért, mert máskor történtek, ugyanis a tegnap nem azonos a mával, formális nyelven megfogalmazva: t1>< t2. Mindez nyilvánvalónak tűnik, pedig nem az. Nyilvánvalónak tűnik, hogy a tegnap nem azonos a mával, és az is, hogy viszont a tegnap azonos a tegnappal, a ma pedig a mával, azaz t1=t1 és t2=t2. Az is nyilvánvalónak tűnik, hogy a tegnap korábbi mint a ma, azaz formális nyelven: t1<t2. Ezek után a következő zavarba ejtő kérdések merülnek fel:

(1.1)  Mit jelöl a t1 időpont ma, amikor a tegnap már elmúlt?

(1.2)  Mi teszi igazzá azt a p tényt, vagyis hogy tegnap becsuktam a kiskaput?

Nyilván az az esemény teszi igazzá a p tényt, hogy tegnap megtörtént ama kapu-becsukódás, azaz megtörtént k(t1). Hogyan értsük, azt, hogy valami, esetünkben k(t1) megtörtént? Mit jelöl k(t1), mit jelöl a ’tegnapi kapu-becsukódás’ kifejezés? Mert ha most nem jelöl semmit, akkor az a mondat, amelyik most használja, az értelmetlen. Márpedig minden épelméjű ember érti és értelmesnek tartja az a mondatot, hogy „Tegnap becsuktam a kiskaput.”.

Kicsit másképp: t1<t2, azaz a tegnapi kapubecsukás időpontja korábbi mint a mai kapu-becsukásé. Csak akkor igaz és értelmez ez a mondat, ha a t1, azaz a ’a tegnapi kapu-becsukás időpontja’ kifejezés jelöl valamit, máskülönben a mondatnak nincsen igazságértéke.

(1.3)  Fontos, hogy ne kövessük el azt a durva, elemi hibát, hogy összekeverjük az igazság igazolását az igazsággal. Megtörténhet, hogy sem én, sem más nem emlékszik arra, hogy tegnap este becsuktam a kaput vagy sem. Megtörténhet, hogy nincs semmilyen jel, fénykép, ami alapján kikövetkeztethetnénk, hogy tegnap becsuktam a kaput vagy sem. Mégis teljesen bizonyos, hogy csak két eset állhat fenn: vagy becsuktam a kaput, vagy nem csuktam be a kaput. Történetesen tudjuk, hogy becsuktam a kaput, azaz tudjuk, hogy p. Ha nem tudnánk, hogy mi történt, p akkor is igaz lehet, csak nem lenne erre utaló bizonyítékunk, emlékünk, nem tudnánk igazolni, hogy p. Fontos tehát annak a belátása, hogy bár p egy múltbeli eseményt ír le, igazsága nem a mi elmeállapotunktól függ, nem attól, hogy mit tudunk, hanem valami rajtunk kívül álló ténytől. De ha ez így van, akkor a kapukon kívül léteznie kell olyan eseményeknek vagy tényeknek is, mint a kapu becsukása.

(2) Amikor figyelmeztetjük barátainkat, hogy „Most értünk a forráshoz.”, akkor két dolgot teszünk egyszerre: egy tényt állítunk, és az állítás kimondása segítségével felhívjuk a figyelmet valamire. Mi halkan halljuk a víz csobogását, távolabb az ágak között látjuk megcsillanni a vizet, és abban a pillanatban tudjuk, itt van a forrás a közelünkben, megérkeztünk. Mindez teljesen világos, és mégsem az. Zavarba jövünk, ha mélyebben próbáljuk megérteni az egyébként mindennapi eseményt. A következő kérdések merülnek fel. Mi az az igaz vagy hamis gondolati tartalom, propozíció, amit állítunk annak a kimondásakor, hogy „Most értünk a forráshoz.”? Mi történik a mondat kimondásakor, mire hívjuk fel társaink figyelmét? Úgy tűnik bárhogyan válaszolunk ezekre a kérdésekre, azokban szerepelni fog a „most” fogalma. De vajon mi a „most” fogalma, mit jelent a „most” szó? Van-e a világnak olyan tulajdonsága, hogy ’most’? Van-e a világnak olyan, az emberi léttől független tulajdonsága, hogy itt és itt, ezen a térrészen a világ most ilyen és ilyen?

A jelen fogalmában van valami rejtélyes, amit már Szent Ágoston is fölismert anno a „Vallomások” c. művében. Ha a jelennek kiterjedése van, ha a jelen egy rövid tartomány, akkor van kezdete és vége, tehát van a jelenben jelen lévő múlt és jövő. Ez ellentmond annak a feltevésnek, hogy csak a jelen létezik, a múlt már nem, a jövő pedig még nem. Ha viszont a jelen pillanatnyi, akkor nehéz megmagyarázni, hogy miképpen jön el a következő időpont, a következő jelen? Egyáltalán miképpen lehet időtlen érvényű igazságot megfogalmazni valamiről – a jelenről – aminek a lényege éppen az időbeliség, éppen az, hogy amint létrejön, már el is múlik? 

(3) Talán nem szó szerint érti a jövő fogalmát a költő. Feltehetően nem hiszi, hogy a jövő már most, a jelenben létezik, és azzal kell összevetnünk a saját korunkat. Sokkal inkább a jövő egy elképzelésére, ideájára gondol, és annak az összevetésére a jelennel. Bárhogy is van a jövővel kapcsolatban a következő álláspontok között választhatunk:

(3.1) Sem jövőbeli események vagy tények, de még jövőbeli időpontok sem léteznek.

(3.2) Nem léteznek jövőbeli események vagy tények, de a jövőbeli időpontok igen, abban fognak megtörténni a jövőbeli események.  A jövő egyfajta üres tartály, amit a jelen folyamatosan feltölt.

(3.3) Nem csak a jövőbeli időpontok léteznek, hanem a jövőbeli események vagy tények is, csak azok a jelenben rejtve vannak előlünk, bár némelyiküket kikövetkeztethetjük, előre láthatjuk.

A költő ugyanakkor arra is figyelmeztet, hogy nem lehetséges visszamenni az időben, a múlt megváltoztathatatlan, rajta búsongani kár. A jövő az ami nyitott, amit befolyásolhatunk, jobbá tehetünk. A filozófus bólint, helyesel. Egyetért, csak éppen rákérdez: miért megváltoztathatatlan a múlt? Nem illúzió-e abban hinni, hogy a jövőt befolyásolhatjuk?

(4) Tényleg úgy esik a jelen a múlt mélységes mély kútjába, ahogy a virág szirma lehull? Valóban eliramlik az élet, valóban van az időnek iránya, nem csak az idő személetes ábrázolása vezet félre bennünket? Csak akkor létezik a múlt, ha valaki tud róla? Léteznek-e olyan múltbeli események, melyekről semmiféle tudásunk nincsen? Milyen lenne, mit tapasztalnánk, ha visszafelé múlna az idő, vajon lehetséges ez?

Ezekkel és más hasonló, részben a modern fizikához kapcsolódó kérdésekkel foglalkozik a jelen analitikus idő-filozófiája. (Az un. kontinentális iskola irányzataihoz nem értek.)

A magyar filozófusok közül most hírtelen ezek jutottak az eszembe: Csatári Ferenc: A realista, az antirealista és az idő; ehhez kapcsolódóan érdemes elolvasni Dummett: A metafzikai logikai alapjai:21-23; E. Szabó László: A nyitott jövő problémája; Huoranszki Ferenc: Modern metafizika:168-199, Nyíri Kristóf: Szubjektív idő; Újvári Márta: Idő, igeidő és McTaggart érvének „indexikus hibája”; illetve a Modern metafizikai tanulmányok c. kötetből Mc Taggart és Shoemaker klasszikus írásának fordítása – ezeknek az írásoknak egy része megtalálható a neten is.